中小学教育资源及组卷应用平台 知识点一 向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 知识点二 向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 (1)λ(μ a)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λ a＋μ a；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb 知识点三 共线向量定理及平面向量基本定理 1．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 2．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 知识点四 平面向量的坐标运算 1．向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. 2．向量坐标的求法 (1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)， ||＝. 3．向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b?x1y2－x2y1＝0. 题型一 向量有关概念辨析 例1 下面关于向量的叙述，正确的是_____．(填序号) ①任一向量与它的相反向量不相等； ②四边形ABCD是平行四边形当且仅当＝； ③一个向量方向不确定当且仅当模为0； ④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同． 答案 ②③ 解析 ①不正确．零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．②③正确． ④不正确．如图与共线，虽然起点不同，但其终点却相同． 感悟与点拨 向量是既有大小又有方向的量，且平移不变，所以在判断有关向量的命题时，一定要紧扣三点： (1)大小，(2)方向，(3)可平移． 跟踪训练1 (1)如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( ) A．e1与e1＋e2 B．e1－2e2与e1＋2e2 C．e1＋e2与e1－e2 D．e1＋3e2与6e2＋2e1 (2)给出下列命题： ①若a≠b，则a一定不与b共线； ②若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点； ③若向量a与任一向量b平行，则a＝0； ④若a＝b，b＝c，则a＝c； ⑤若a∥b，b∥c，则a∥c. 其中正确的命题是_____．(填序号) 答案 (1)D (2)③④ 解析 (1)选项A中，设e1＋e2＝λe1， 则无解； 选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则 无解； 选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解； 选项D中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)， 所以两向量是共线向量． (2)①两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确； ②＝，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确；③零向量的方向是任意的，与任一向量平行，③正确；④a＝b，则|a|＝|b|且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|且b与c方向相同，则a与c方向相同且模相等，故a＝c，④正确；⑤若b＝0，由于a的方向与c的方向都是 ... ...
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