高中数学-考试最有用的23个经典不等式-附证明推导过程!

高中数学，考试最有用的23个经典不等式，附证明推导过程！ a+b≤2 琴生不等式可秒此题.此法称为琴生不等式 3)权方和不等式 若(a>0,b>0,m>0或m<-1) m+I E十 IM+I 则 (a1+…+an) 十∴十 西b1+…+bn) 已知:a3+b3=2,即 (√2)2(√2)2 1 采用权方和不等式 (a+b)3(a+b)3 2 2+√2 即:1≥ (a+b) ,即:a+b≤2 此法称为权方和不等式 4)幂均不等式 由于幂均函数M(a a1+a)+…+a, 随r单 调递增而得到幂均不等式 M1(a)sM3(a),即 s/a+b3)3 a+b 即·a+b s/a+b 3 1,即:a+b≤2 此法称为幂均不等式 例3.若:n∈N+,求证 11 十 …+一<1 2 n+I n+2 [解析] 1)放缩法 由:n+n≥n+k>n(k=1,2,,n)得 2n n+k n 则:∑ ≤2 即 k=l 2n kan+k k=l n ≤ < 2n n+I n+2 n+nn 故 +一< n+1n+2 从一开始就放缩,然后求和.此法称为“放缩 2)性质法 本题也可以采用不等式性质证明 所证不等式中的任何一项如第k项,均满足 < <-,当有n项累加时 2n n+k n 不等式两个边界项乘以n倍,则不等式依然成立 即:大于最小值得n倍,小于最大值的n倍 另外 …+一的最大值是 n+I n+2 2 ln2≈0.693142…,本题有些松 例4若:a,b>0,且ab=a+b+3,求:a+b的取 值范围; 解析] 1)解析法 (a+b)=a-+b-+2mb24mb=4(+b+3)=4(a+b)+ 合:t=a+b,则上式为:t2-41-12≥0,即 (-6(+2)≥0 故:t≥6或t≤-2(舍 本题采用了均值不等式和二次不等式 )基本不等式 由ab=a+b+3得:ab-a-b+1=4,即 a-1(b-1)=4 两正数之积为定值时,两数相等时其和最小 故:当(a-D)=(b-D=2时,(a-D)+(b-1)为最小 值 即:(a-1)+(b-1)≥2+2=4,即:a+b≥6 3)拉格朗日乘数法 拉格朗日函数为:L(a,b)=a+b+(mb-a-b-3) aL 当拉氏函数取极值时 =I+(b-D)=0 L =1+A(a-D)=0 b 即:元 即:b 则L(a,b)取极值时,b=a,代人Wb=a+b+3得 a=2a+3 即:a2-2a-3=0,即:(a-3)a+1)=0,即:a=3