登陆21世纪教育 助您教考全无忧 人教A版 选修2—2 精讲细练 1.1.2导数的概念 一、知识精讲 导数 （1）定义：从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是: 我们称它为函数在处的导数， 记作或。 （2）表达式： （3）注意点： ①Δx→0是指Δx从0的左右两侧分别趋向于0,但永远不会为0； ②若存在,则称f(x)在x=x0处可导； ③“瞬时变化率”和“导数”是同一概念的两个不同名称。 （4）求“导数”的步骤 ①求函数的增量：Δy=； ——— 一减 ②计算平均变化率：。——— 二除 ③求平均变化率的极限：——— 三极限 （5）导数的物理意义：物体运动时的瞬时速度。 二、典例细练 【题型一】：基本概念的理解 例题1：函数在某一点的导数是指( ) A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比 B．一个函数 C．一个常数，不是变数 D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 【答案】 C 【解析】 由定义，A选项指的是函数的平均变化率；f′(x0)是当Δx无限趋近于0时，无限趋近的常数，故应选C. 【点评】注意平均变化率和导数的定义上的区别。 变式训练：已知函数y＝f(x)，那么下列说法错误的是( ) A．Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)叫做函数值的增量 B.＝叫做函数在x0到x0＋Δx之间的平均变化率 C．f(x)在x0处的导数记为y′ D．f(x)在x0处的导数记为f′(x0) 【答案】 C 【题型二】：导数的求法 例题2：函数y＝2x＋4x （1）求函数在x＝3处的导数； （2）若函数在x＝x0处的导数是8，求x0的值． 【解析】（1）Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3) ＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx ＝2(Δx)2＋16Δx， ∴＝＝2Δx＋16. ∴y′|x＝3＝ ＝ (2Δx＋16)＝16. （2）根据导数的定义 f′(x)＝li ＝li ＝li ＝li ＝li (4x＋2Δx＋4)＝4x＋4， ∴f′(x0)＝4x0＋4＝8. 解得x0＝1. 【点评】严格按照“一差二除三极限”的步骤来求函数的导数。 变式训练1：设f(x)＝x2，求f′(x0)，f′(－1)，f′(2)． 【解析】: 由导数定义有f′(x0)＝li ＝li ＝li ＝2x0， 变式训练2：已知函数f(x)＝ax＋4，若f′(2)＝2，则a等于_____． 【答案】 2 【解析】 ∵＝＝a， ∴f′(1)＝li ＝a.∴a＝2. 【点评】变式2为导数的逆向应用，注意思维的转化。 【题型三】：导数的物理意义 例题3：若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s)；s＝ 求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v0； (3)物体在t＝1时的瞬时速度． 【解析】 (1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2， 物体在t∈[3,5]内的位移变化量为 Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t∈[3,5]内的平均速度为 ＝＝24(m/s)． (2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度． ∵物体在t＝0附近的平均变化率为 ＝＝＝3Δt－18， ∴物体在t＝0处的瞬时变化率为 li ＝li (3Δt－18)＝－1 (3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t＝1附近的平均变化率为 ＝＝＝3Δt－12， ∴物体在t＝1处的瞬时变化率为 li＝＝li (3Δt－12)＝－12， 即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s. 【点评】求物体的初速度，即求物体在t＝0时刻的速度，很容易误认为v0＝0，有些函数表达式刻画的直线运动并不一定是由静止开始的直线运动．出错原因是受思维定势的影响． 变式训练：一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)＝4t2－3(s(t)的单位：m，t的单位：s)，则t＝5时的瞬时速度为( ) A．37 B．38 C．39 D．40 【答案】 D 【解析】 ∵＝＝40＋4Δt， ∴s′(5)＝li ＝li (40＋4Δt)＝40.故应选D. 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 1 页 （共 4 页） 版权所有@21 ... ...
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