编号：015 课题:§10.3 几个三角恒等式 目标要求 1、理解并掌握半角公式以及积化和差、和差化积公式． 2、理解并掌握求值问题． 3、理解并掌握三角函数式的化简、证明问题． 4、理解并掌握积化和差、和差化积公式的应用问题. 学科素养目标 三角恒等变换公式是联系三角函数与平面向量，物理应用知识的桥梁.三角恒等变换公式中的“拆与添”、方程组思想等技巧都是数学常用思想方法.突出计算能力，逻辑推理能力，分析问题和解决实际应用问题的能力． 重点难点 重点：三角函数式的化简、证明问题； 难点：积化和差、和差化积公式的应用问题． 教学过程 基础知识点 1.半角公式 (1)公式: (2)本质: ①半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的. ②半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式,即只需知道的值及相应 的条件,便可求出. (3)应用:①求值;②化简;③证明. 【思考】 (1)半角公式中的正负号能否去掉?该如何选择? (2)半角公式对都成立吗?为什么? 2.积化和差、和差化积公式 (1)积化和差公式 . (2)和差化积公式 . 【思考】 (1)积化和差公式是由什么公式推导出来的? (2)和差化积公式是如何推导出来的? 【课前基础演练】 题1.（多选）下列命题正确的是 ( ) A.. B. 对于任意,都不成立. C. 若是第一象限角,则. D. . 题2.若,则的值为 ( ) A. B. C. D. 题3.的值为 ( ) A. B. C. D. 题4.设,则等于_____. 关键能力·合作学习 类型一 求值问题(数学运算) 【题组训练】 题5.设,那么等于 ( ) A. B. C. D. 题6.已知,则 ( ) A.3 B.-3 C. D. 题7.已知,且为第一象限角,则的值为 ( ) A. B. C. D. 【解题策略】 利用半角公式求值的思路 (1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解. (2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围. (3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用，其优点是计 算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用计算. (4)下结论:结合(2)求值. 【补偿训练】 题8.已知,求及的值. 类型二 三角函数式的化简(数学运算) 【典例】题9.化简: . 【解题策略】 化简问题中的“三变” (1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式. (2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切. (3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径.如升幂、降幂、配方、开方等. 【跟踪训练】 题10.化简: . 题11.已知,试化简:. 【补偿训练】 题12.若,则等于 ( ) A. B. C. D. 类型三 恒等式的证明(逻辑推理) 角度1 绝对恒等式的证明 【典例】题13.求证:. 【变式探究】 题14.求证:. 角度2 条件恒等式的证明 【典例】题15.已知,且. 求证:. 【解题策略】 (1)证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异,有目的的化繁为简、左右归一. (2)三角恒等式的证明主要有两种类型:绝对恒等式与条件恒等式. ①证明绝对恒等式要根据等式两边的特征,化繁为简,左右归一,通过三角恒等式变换,使等式的两边化异为同. ②条件恒等式的证明则要认真观察,比较已知条件与求证等式之间的联系,选择适当途径.常用代入法、消元法、两头凑等方法. 【题组训练】 题16.求证:. 题17.已知,求证:. 类型四 积化和差、和差化积公式的应用(逻辑推理) 【典例】题18.已知,求的值. 【解题策略】 1.积化和差公式的功能与关键 (1)功能:①把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式). ②将角度化为特殊角求值或化简,将函数式变形以研究其性质. (2)关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三角函数相约或相消,从而化为特殊角的三角函数. 2.和差化 ... ...
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