编号：004 课题:§9.2.3 向量的数量积 目标要求 1、理解并掌握向量数量积的性质和运算律． 2、理解并掌握向量数量积和投影向量． 3、会求向量的模． 4、会解决向量夹角与垂直问题. 学科素养目标 向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用． 重点难点 重点：向量的模； 难点：向量夹角与垂直问题． 教学过程 基础知识点 1.向量的数量积 (1)定义: 条件 两个_____向量与,它们的夹角是θ 结论 把数量_____叫作向量和的数量积(或内积) 记法 记作,即_____ 规定 零向量与任一向量的数量积为_____ (2)本质:数量积是两个向量之间的一种运算,其运算结果是一个数量,其大小与两个向量的长度及其夹角都有关,符号由夹角的余弦值的符号决定. (3)应用:①求向量的夹角;②研究向量的垂直问题;③求向量的模. 2.投影与投影向量 (1)变换: 变换 图示 设是两个非零向量, 过的起点A和终点B,分别作所 在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到 (2)结论:称上述变换为向向向量投影,_____叫作向量在向量上的投影向量. (3)计算:设与方向相同的单位向量为与的夹角为θ,则向量在向量上的 投影向量为_____. 3.向量数量积的性质 (1)条件:设是非零向量,它们的夹角是θ, 是与方向相同的单位向量. (2)性质:①. ②. ③当与同向时, ; 当与反向时, . 特别地, 或. ④. 4.向量数量积的运算律 (1) . (2) . (3) . 【思考】 (1)对于向量,等式一定成立吗? (2)若,则一定成立吗? 【课前基础演练】 题1.（多选）下列命题错误的是 ( ) A. 向量的数量积也可记作或. B. 对于向量,若,则或. C. 若,则和的夹角为锐角. D. 向量在上的投影向量是一个模等于(θ是与的夹角),且与共线的一个向量. 题2.若向量满足,与的夹角为30°,则等于 ( ) A. B. C. D. 题3.已知为一单位向量, 与之间的夹角是120°,而在方向上的投影向量的模为2,则_____. 关键能力·合作学习 类型一 向量数量积和投影向量(数学运算) 【题组训练】 题4.在△ABC中,∠A=60°, ，则的值为 ( ) A.-1 B. C. D.1 题5.已知等边△ABC的边长为2,则向量在向量方向上的投影向量为 ( ) A. B. C. D. 题6.已知向量与的夹角θ为120°,且,求:(1) ;(2) . 【解题策略】 1.向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及两个向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键. (2)根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算. 2.求投影向量的方法 (1)依据投影的定义和平面几何知识作出恰当的垂线,直接得到投影向量. (2)首先根据题意确定向量的模,与同向的单位向量,及两向量与的夹角θ,然后依据公式计算. 【补偿训练】 题7.若,与的夹角θ=120°,则 ( ) A.1 B.-1 C.7 D.-7 题8.已知,且与的夹角θ为45°,则向量在向量上的投影为 _____. 类型二 向量的模(数学运算) 【典例】题9.如图,在△ABC中, ,E是AD的中点,设. (1)试用表示; (2)若,且与的夹角为60°,求. 【解题策略】 1.求向量的模的依据和基本策略 (1)依据: 或,可以实现实数运算与向量运算的相互转化. (2)基本策略:求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用,勿忘记开方. 2.拓展公式 (1) . (2) . 【跟踪训练】 题10.已知向量满足,则_____. 题11.已知,向量与的夹角θ为,求. 【拓展延伸】 关于向量模的最值问题 解答此类问题通常分以下两步 (1)依据数量积及其运算性质,建立所求量关于某个变量的函数; (2)利用有关函数的图象和性质求最值. 【拓展训练】 题12.已知与的夹角为60°, ， 若,则的最小值为_____. 类型三 向量夹角与垂直问题(数学运算、逻辑推理) 角度1 两向量夹角问题 【典例】题13.已知. (1)求的值; (2)求向量与夹角的余弦值. 【变式探究】 题14.已知“ ... ...
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