2021年九年级数学中考二轮复习《开放探究型解答题》专题突破训练（附答案） 1．定义：在一个三角形中，如果一个内角是另一内角的倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”，把这个倍角的平分线（线段）称为这个三角形的“伴线”． 在倍角中，的平分线就是它的“伴线”，用分别表示的对边．现在我们探究之间存在的数量关系． （1）（特例探究）（补全填空） 如图1，若，易求得的值为的值为； 如图2，若，易求得的值为 ；的值为 ； （2）（猜想论证）根据猜想之间存在怎样的数量关系？请从下列思路中选择一种证明你的猜想． 思路一：如图3，延长至使连接． 思路二：如图4，作的平分线交于点． （3）（素养提升） 若在这个倍角中，已知且它的三边长恰好是三个连续的正整数，请根据中的结论直接写出这个三角形的“伴线”长． 2．如图l，在正方形ABCD中，AB=8，点E在AC上，且，过点作于点，交于点，连接，． （问题发现） （1）线段与的数量关系是_____，直线与所夹锐角的度数是_____； （拓展探究） （2）当绕点顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请写出结论并结合图2给出证明；若不成立，请说明理由； （解决问题） （3）在（2）的条件下，当点到直线的距离为2时，请直接写出的长． 3．正方形和等腰共顶点D，，，将绕点D逆时针旋转一周． （1）如图1，当点F与点C重合时，若，求的长； （2）如图2，M为中点，连接、，探究、的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）条件下，连接并延长交于点Q，若，在旋转过程中，的最小值为_____． 4．如图1，四边形是正方形，G是边上的一个动点（点G与C，D不重合），以为一边在正方形外作正方形，连接，．我们探究下列图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系： （1）①猜想如图1中线段．线段的长度关系及所在直线的位置关系； ②将图1中的正方形绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断； （2）将原题中正方形改为矩形（如图4－6）且，，，，第（1）题①中得到C的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由； （3）在第（2）题图5中，连接、，且，，，求的值． 5．（1）认识模型： 如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于，过作于．若．则_____． （2）应用模型： ①已知直线与轴交于点，与轴交于点，过点作直线垂直于，且，求点的坐标； ②如图3，矩形，为坐标原点，的坐标为（5，4），，分别在坐标轴上，是线段上动点，已知点在第一象限，且是直线上的一点．若是以为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点的坐标． 6．问题：如图1，在中，，，D为BC边上一点（不与点B．C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转得到AE，连接EC． （1）求证：； （2）探索：如图2，在与中，，，，将绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段、、之间满足的数量关系，并证明你的结论； （3）应用：如图3，在四边形ABCD中，，若，，求AD的长． 7．（1）问题发现： 如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．则： ①∠AEB的度数为 °； ②线段AD、BE之间的数量关系是 ． （2）拓展研究： 如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点 A、D、E在同一直线上，若AE＝30，DE＝14，求AB的长度． （3）探究发现： 图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由． 8．如图，在中，，， （1）如图1,平分交于点，为上一点，连接交于点． （i）若，求证：垂直平分； （i ... ...
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