2021-2022学年高中数学人教A版必修5学案 2.4 Word版含解析 (2份打包)

第2课时　等比数列的性质 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握等比数列的性质及其应用．(重点)2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点、易错点)3.能用递推公式求通项公式．(难点) 1.通过灵活设项求解等比数列问题以及等比数列性质的应用，培养数学运算素养．2.借助递推公式转化为等比数列求通项，培养逻辑推理及数学运算素养． 1．推广的等比数列的通项公式 {an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1，an＝am·qn－m(m，n∈N ). 2．“子数列”性质 对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk． 思考：如何推导an＝amqn－m? [提示]　由＝＝qn－m， ∴an＝am·qn－m. 3．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N )，则am·an＝ap·aq． ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N )时，am·an＝a． ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…. 4．两等比数列合成数列的性质 若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{a}，{an·bn}，也为等比数列． 思考：等比数列{an}的前4项为1，2，4，8，下列判断正确的是 (1){3an}是等比数列； (2){3＋an}是等比数列； (3)是等比数列； (4){a2n}是等比数列． [提示]　由定义可判断出(1)(3)(4)正确． 1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　) A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 [答案]　D 2．等比数列{an}中，a1＝3，q＝2，则a4＝ ，an＝ ． 24　3×2n－1　[a4＝a1q3＝3×23＝24，an＝a1qn－1＝3×2n－1.] 3．在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝6，则a9＝ ． 9　[因为a7＝a5q2，所以q2＝. 所以a9＝a5q4＝a5(q2)2＝4×＝9.] 4．在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11的值为 ． 25　[因为a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，所以a8a9a10a11＝25.] 灵活设项求解等比数列 【例1】　已知4个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－，则此4个数为 ． 8，－2，，－或－，，－2，8　[设此4个数为a，aq，aq2，aq3. 则a4q6＝1，aq(1＋q)＝－，① 所以a2q3＝±1，当a2q3＝1时，q>0，代入①式化简可得q2－q＋1＝0，此方程无解； 当a2q3＝－1时，q<0，代入①式化简可得q2＋q＋1＝0，解得q＝－4或q＝－. 当q＝－4时，a＝－； 当q＝－时，a＝8. 所以这4个数为8，－2，，－或－，，－2，8.] 巧设等差数列、等比数列的方法 (1)若三数成等差数列，常设成a－d，a，a＋d.若三数成等比数列，常设成，a，aq或a，aq，aq2. (2)若四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq2.若四个正数成等比数列，可设为，，aq，aq3. 1．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数． [解]　由题意设此四个数为，b，bq，a， 则有 解得或 所以这四个数为1，－2，4，10或－，－2，－5，－8. 等比数列的性质及应用 【例2】　已知{an}为等比数列． (1){an}满足a2a4＝，求a1aa5； (2)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； (3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 思路探究：利用等比数列的性质，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq求解． [解]　(1)等比数列{an}中，因为a2a4＝，所以a＝a1a5＝a2a4＝，所以a1aa5＝. (2)由等比中项，化简条件得 a＋2a3a5＋a＝25，即(a3＋a5)2＝25， ∵an>0，∴a3＋a5＝5. (3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 ＝log3(a1a2…a10) ＝log3[(a1a10)( ... ...