内 容 标 准 学 科 素 养 1.了解导数与函数单调性的关系． 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法． 3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间. 利用数学抽象 提升逻辑推理 及数学运算 [基础认识] 知识点一 函数的单调性与其导数正负的关系 函数的单调性是怎么定义的？判断单调性的方法有哪些？ 提示：如果函数f(x)在定义域内的某区间D上是增函数或减函数，那么就说该函数在区间D上具有单调性． 判断单调性的方法有定义法和图象法． 观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与其导函数正负的关系． 提示：对于(1)y＝x在R上是增函数，而y′＝1>0； 对于(2)y＝x2在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，而y′＝2x，当x<0时，y′<0；当x>0时y′>0； 对于(3)y＝x3在R上是增函数，而y′＝3x2>0(x≠0)； 对于(4)y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，而y′＝－<0. 知识梳理 函数的单调性与导数的关系 (1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系： 导数 函数的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 f′(x)＝0 常函数 (2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系： 函数的单调性 导数 单调递增 f′(x)≥0 单调递减 f′(x)≤0 常函数 f′(x)＝0 特别提醒：(1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)． (2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0. 知识点二 函数的变化快慢与导数的关系 通过函数图象，不仅可以看出函数的增或减，还可以看出其变化的快慢．结合图象，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？ 观察下图，函数f(x)在(0，a)和(a，＋∞)上都是单调递增的，但在(0，a)内的图象“陡峭”，在(a，＋∞)内的图象“平缓”，试比较f(x)在(0，a)和(a，＋∞)内导数的大小有什么关系？ 提示：根据导数的几何意义，知f(x)在(0，a)内的导数绝对值大于f(x)在(a，＋∞)内的导数的绝对值． 知识梳理 函数的变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些． [自我检测] 1.函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列判断中正确的是( ) A．f(x)在(－3,1)上单调递增 B．f(x)在(1,3)上单调递减 C．f(x)在(2,4)上单调递减 D．f(x)在(3，＋∞)上单调递增 答案：C 2．函数f(x)＝sin x－x在R上是_____(填“增函数”或“减函数”)． 答案：减函数 探究一 函数与导函数图象间的关系 [阅读教材P91例1]已知导函数f′(x)的下列信息： 当10； 当x>4，或x<1时，f′(x)<0； 当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0. 试画出函数f(x)图象的大致形状． 题型：函数的图象与其导数正负的关系． 方法步骤：①由f′(x)>0得出f(x)在该区间上是增函数． 由f′(x)<0得出f(x)在该区间上是减函数，f(x)＝0时为临界点． ②由函数在某区间上的增减性作出f(x)的图象． [例1] (1)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( ) (2)已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是( ) [解析] (1)由函数的图象可知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D. (2)从f′(x)的图象可以看出，在区间内，导数单调递增；在区间内，导数单调递减．即函数f(x)的图象在内越来越陡，在内越来越平缓，由此可知，只有选项D符合． [答案] (1)D (2)D 方法技巧 研究函数与导函数图象之间关系的方法 研究一个 ... ...
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