中考数学二次函数压轴300题终极突破提升训练（5）（原卷+解析卷）

中小学教育资源及组卷应用平台 中考数学二次函数压轴题终极突破提升训练（5） 1．已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，点是线段上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线解析式； （2）在抛物线的对称轴 上找一点，使的值最小，求出点M的坐标； （3）当点运动到什么位置时，的面积最大？ 【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）M（-1，2）；（3）P(-0.5，3.75) 【分析】（1）把点B、C代入解析式求解即可； （2）由题意可得点A、B关于对称轴对称，要使的值最小，则点M需在线段AB与对称轴的交点上，进而求解即可； （3）连接OP，然后根据等积法把△APB的面积表示出来，然后利用二次函数的性质进行求解即可． 【详解】解：（1）把，代入抛物线得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3； （2）由题意可得：抛物线的对称轴为直线，点， 要使的值最小，对称轴直线x=-1 与线段AB的交点即为所求点M， 设直线AB的解析式为：，把点A和点B的坐标代入，解得：， ∴直线AB：y=x+3， ∴M（-1，2）； （3）连接OP，如图所示： 设P(t，-t2-2t+3)，其中t＜0，-t2-2t+3＞0，由（1）（2）可得： OA=3，OB=3，△PAO的高为点P到y轴的距离，△PBO的高为点P到x轴的距离， ∴ =0.5×3×（-t）+0.5×3×（-t2-2t+3）-0.5×3×3 =-0.5(t+0.5)2+3.375； ∵，即抛物线的开口向下， ∴当t=-0.5时，S最大，此时，点P(-0.5，3.75)． 【点评】本题主要考查二次函数与几何的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2．如图，二次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A（-1，0）和点B（0，2），图象的对称轴交x轴于点C，一次函数的图象经过点B，C，与二次函数图象的另一个交点为点D． （1）求二次函数的解析式和一次函数的解析式； （2）求点D的坐标； （3）结合图象，请直接写出 时，x的取值范围：_____． 【答案】（1）；；（2）（，）；（3）或． 【分析】（1）利用待定系数法可求出二次函数的解析式和一次函数的解析式； （2）联立二次函数的解析式和一次函数的解析式，求得交点坐标即可； （3）根据解得坐标，结合图象即可求得． 【详解】解：（1）将点和点代入，得：， 解得：， 二次函数的解析式为． 二次函数的对称轴为直线， ， 一次函数的图象经过点、， ，解得， 一次函数的解析式为． （2）联立二次函数的解析式和一次函数的解析式得：， 解之得或， 点D的坐标为，， （3）由图象可知，当或时，有． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点，自变量取值范围等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键． 3．定义：如果一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征轴三角形”．显然，“特征轴三角形”是等腰三角形． （1）抛物线y＝x2﹣2x对应的“特征轴三角形”是　 　；抛物线y＝x2﹣2对应的“特征轴三角形”是　 　．（把下列较恰当结论的序号填在横线上：①腰与底边不相等的等腰三角形；②等边三角形；③非等腰的直角三角形；④等腰直角三角形．） （2）若抛物线y＝ax2+2ax﹣3a对应的“特征轴三角形”是直角三角形，请求出a的值． （3）如图，面积为12的矩形ABCO的对角线OB在x轴的正半轴上，AC与OB相交于点E，若△ABE是抛物线y＝ax2+bx+c的“特征轴三角形”，求此抛物线的解析式． 【答案】（1）②；④；（2）；（3）y＝﹣x2+6x﹣24． 【分析】（1）根据题意先求出这两个抛物线的顶点及与x轴的交点坐标，然后进行求解即可； （2）由题意易得抛物线的顶点及与x轴的交点坐标，然后根据题意列方程求解即可； （3）如图，过点A作AH⊥x轴，交于点H，由题意易得S△ABE＝＝×12＝3，则有BE2＝3，进而可得A（3，3）， ... ...