专题02 向量的数量积与三角恒等变换【知识梳理】-2020-2021学年高一数学下学期期末专项复习（新教材人教B版2019）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题02 向量的数量积与三角恒等变换【知识梳理】 一、两个向量的夹角和向量在轴上的正射影 1、(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉. (2)范围：向量夹角〈a，b〉的范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉. (3)向量垂直：如果〈a，b〉＝，则a与b垂直，记作a⊥b. 2、已知向量a和轴l(如图)，作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量. ＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cos__θ. 【例题1】已知向量，，则在方向上的投影为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由题意可得， ， 故在方向上的投影为. 【例题2】已知非零在非零方向上的投影是m，m∈R，下列说法正确的是（ ） A．在方向上的投影一定是m B．在方向上的投影一定是km C．在方向上的投影一定是km D．在方向上的投影一定m 【答案】D 【详解】 解：∵在方向上的投影是m， ∴， ∵，k≠0，， ∴在(k≠0)方向上的投影为，当k>0时，在k方向上的投影为m. 故选：D. 【跟踪训练1】 ，，向量与向量的夹角为，则向量在向量方向上的投影等于（ ） A． B． C．2 D． 【跟踪训练2】 向量的模为10，它与向量的夹角为，则它在方向上的投影为（ ） A．5 B． C． D． 跟踪训练3】 已知单位向量满足，则向量在向量方向上的投影为（ ） A． B． C． D． 二.向量的数量积 (1)平面向量的数量积的定义： |a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. (2)平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角. ①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. ②模：|a|＝＝. ③夹角：cos θ＝＝. ④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. ⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤ ·. 【例题1】四边形中，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由题意知，四边形为直角梯形，， 所以． 故选：B． 【例题 2】 已知菱形的边长为，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 因为， 所以， 因为， ， 所以， ， ， ， 故选：B 【跟踪训练1】 在边长为3的等边三角形中，，则（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】 若是半径为的圆上的三个点，且，则（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练3】 在边长为1的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E是BC的中点，则（ ） A． B． C． D． 三.平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律). (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 【例题1】 已知非零向量、满足，，若，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 因为，则，所以，， 因为，则，解得. 【例题2】 已知，，若关于的不等式恒成立，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 因为，，且关于的不等式恒成立， 所以， 所以， 整理得， 所以， 所以，，又， 所以 故选：B 【跟踪训练1】 已知平面向量，与，与的夹角为，且与垂直，则（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】 已知向量、满足，，，则（ ） A．2 B． C． D． 【跟踪训练3】 已知平面向量，，且，则（ ） A． B． C． D． 四.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β. cos(α?β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β. tan(α±β)＝. 【例题1】计算的值是（ ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】 解： ． 【例题2】（ ）. A．1 B． C． D． 【答案】B ... ...