专题02 向量的数量积与三角恒等变换【专项训练】-2020-2021学年高一数学下学期期末专项复习（新人教B版2019）（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题02 向量的数量积与三角恒等变换【专项训练】 一、单选题 1．已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由题得， . 2．如图，在等边中，，向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由题知D点是BC的四等分点，设三角形边长为a， 则， ，， 则向量在向量上的投影向量为： ， 故选：D 3．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由已知条件可得，， 因此，. 故选：A. 4．黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为，即长段为全段的0.618．0.618被公认为最具有审美意义的比例数字、宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，在黄金矩形ABCD中，，那么的值为（ ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【详解】 由黄金矩形的定义，可得，， 在矩形ABCD中，， 则， 故选：C. 5．已知，则（ ） A． B． C． D．5 【答案】B 【详解】 因为， 所以， 所以， 故选：B 6．设平面向量，，若，则|（ ） A． B． C． D．5 【答案】B 【详解】 因为，，，所以，解得 所以，所以 故选：B 7．设为单位向量，满足，设的夹角为，则的可能取值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为为单位向量， 不妨设，且， 所以， 又因为， 所以， 化简得， 所以， ， ， 当时，， 8．已知向量，，则在上的投影向量为 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ，∴， 又∵向量， ∴向量在的投影为， 所以，向量在方向上的投影向量为. 二、多选题 9．称为两个向量，间的“距离”.若向量，满足：①；②；③对任意的，恒有，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】 解：如图：， 的终点在单位圆上， 用表示，用表示，用表示， 设， ，， 由恒成立得， 所以恒成立， ，， 所以在方向的投影即为，所以 故选：． 10．下列选项中，与的值相等的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】 ， A. ，故错误； B. ，故正确； C. ，故正确； D. ，故错误； 故选：BC 11．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A．已知均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得 B．已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 C．若且，则 D．若平面内有四个点A、B、C、D，则必有 【答案】AD 【详解】 对于选项A： 由向量共线定理知选项A正确； 对于选项B：，若与的夹角为锐角，则 解得，当与共线时，，解得：，此时，，此时夹角为，不符合题意，所以实数的取值范围是，故选项B不正确； 对于选项C：若，则，因为，则或与垂直， 故选项C不正确； 对于选项D：对于平面内四个点A、B、C、D，有， ，则，则必有，故选项D正确. 12．下列说法正确的是（ ） A．若点是的重心，则 B．已知，，若，则 C．已知A，B，C三点不共线，B，C，M三点共线，若，则 D．已知正方形的边长为1，点M满足，则 【答案】AD 【详解】 对于A，点D是边BC的中点，由平面向量加法的平行四边形法则可得在中， 若，故A正确； 对于B，因为，， 所以，解得，故B错误； 对于C，若B，C，M三点共线，则存在实数，使得， 所以即， 又，所以， 所以，故C错误； 对于D，在正方形中，，由可得， 所以 ， 故D正确. 三、解答题 13．已知向量． （1）若与的夹角为，求； （2）若与垂直，求与的夹角． 【详解】 解：(1)， . (2) ，，即，即， ，又，所以与的夹角为. 14．已知． （1）求函数的最小正周期及单凋递减区间； （2）求函数在区间的值域． 【详解】 ， ， ， ． （1）函数的最小正周期， 令， 解得， 所以函数的单凋递减区间是； （2）因为， 所以，则， 所以， 所以 ... ...