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课件网) §2 实际问题的函数建模 1.了解数学建模，掌握根据已知条件建立函数关系式的 方法； 2.通过例题的学习，增强应用数学的意识以及分析问题、解决问题的能力。 学习目标 ④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义． 解决应用题的一般程序是： ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； ②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识， 建立相应的数学模型； ③解模：求解数学模型，得出数学结论； 数学建模过程： 实际问题 抽象概括 数学模型 推理演算 数学模型的解 还原说明 实际问题的解 例1 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示： 请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？ 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 应用举例 分析：由表中信息可知①销售单价每增加1元， 日均销售量就减少40桶②销售利润怎样计算较好？ 解：设在进价基础上增加x元后，日均经营利润为y元， 则有日均销售量为 而 有最大值 只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润. 例2 已知某商品的价格每上涨x%，销售的数量就减少kx%，其中k为正常数. (1)当 时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的 总金额最大？ (2)如果适当的涨价，能使销售总金额增加，求k的取值范 围. 解：(1)设商品现在定价为a元，卖出的数量为b个。由题设： 当价格上涨x%时，销售总额为 即 取 ,得： 当 x = 50时， 即该商品的价格上涨50%时， 销售总金额最大. (2)∵二次函数 在 上递增， 在 上递减 ∴适当地涨价，即 x>0 , 即 就是 0 < k <1 ,能使销售总金额增加. 例3、按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式。如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少？ （1）复利是计算利率的一个方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息，设本金为P，每期利率为r，本利和为y ,存期为x, 则复利函数式为y=p(1+r)x. 思路分析 （2）1期后本利和为： 2期后本利和为： …… x期后，本利和为： 将a=1000元，r=2.25%，x=5代入上式： 由计算器算得：y = 1117.68（元） 其中t表示经过的时间， 表示t＝0时的人口数， r表示人口的年平均增长率。 例4. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨（T.R.Malthus, 1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型： 年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人数／万人 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207 下表是1950～1959年我国的人口数据资料： (1)如果以各年人口增长谐振平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符; （2）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿 解:（1）设1951～1959年的人口增长率分别为 于是, 1951～1959年期间,我国人口的年均增长率为 由 可得1951的人口增长率为 同理可得， 根据表格中的数据作出散点图,并作出函数的图象. 令 则我国在1950-1959年期间的人口 增长模型为 由图像可以看出,所得模型 与1950～1959年的实际人口数据基本吻合. 所以,如果按上表的增长趋势,那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让人口自 ... ...
