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课件网) 5.2.3 简单复合函数的导数 第5章 §5.2 导数的运算 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则. 2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则 进行一些复合函数的求导. 学习目标 同学们，大家有没有过网购的经历？大家一定有过这样的感受，即便你知道你买的什么东西，但当你拆开包装袋的时候，一样能给你带来无限的期盼与喜悦，犹如“拨开云雾见天日，守得云开见月明”，在我们数学上，也有一样让我们期盼的例子，那就是我们今天要学习的复合函数. 导语 随堂演练 课时对点练 一、复合函数概念的理解 二、求复合函数的导数 三、复合函数的导数的应用 内容索引 一、复合函数概念的理解 问题1 函数y＝ln(2x－1)是如何构成的？ 提示 y＝ln(2x－1)，其中的2x－1“占据”了对数函数y＝ln x中x的位置， f(x)＝ln x，而f(2x－1)＝ln(2x－1)，这里有代入、代换的思想， 则函数y＝ln(2x－1)是由内层函数和外层函数复合而成，是复合函数. 复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)). 注意点：内、外层函数通常为基本初等函数. 知识梳理 例1 (多选)下列哪些函数是复合函数 A.y＝xln x B.y＝(3x＋6)2 解析 A不是复合函数； BCD都是复合函数. √ √ √ 反思感悟 若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f(g(x))或函数y＝g(f(x))均为复合函数，而f(x)，g(x)不是复合函数. 跟踪训练1 (多选)下列哪些函数是复合函数 √ √ √ 二、求复合函数的导数 问题2 如何求函数y＝sin 2x的导数？ 提示 y＝2sin xcos x， 由两个函数相乘的求导法则可知：y′＝2cos2x－2sin2x＝2cos 2x； 从整体上来看，外层函数是基本初等函数y＝sin u， 它的导数y′＝cos u，内层函数是幂函数的线性组合u＝2x， 它的导数是u′＝2，发现y′x＝y′u·u′x. 复合函数的求导法则 一般地，我们有，若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝_____. 注意点：(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导. 知识梳理 y′u·a 例2 求下列函数的导数： 所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3. (3)y＝log2(2x＋1)； 解 设y＝log2u，u＝2x＋1， (4)y＝e3x＋2. 解 设y＝eu，u＝3x＋2， 则y′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2. 反思感悟 (1)求复合函数的导数的步骤 (2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁. 跟踪训练2 求下列函数的导数： 解 y＝ ， 设y＝ ，u＝1－2x， 则y′x＝ (2)y＝5log2(1－x)； 解 函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数， 所以y′x＝y′u·u′x＝5(log2u)′·(1－x)′ 三、复合函数的导数的应用 例3 已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若l与圆C：x2＋y2＝ 相切，求a的值. ∴f′(1)＝2a－2，又f(1)＝a＋2ln 1＝a， ∴切线l的方程为y－a＝2(a－1)(x－1)， 即2(a－1)x－y－a＋2＝0. 反思感悟 正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键. 跟踪训练3 曲线y＝f(x)＝e2x·cos 3x在点(0,1)处的切线与平行直线l的距离为 ，求直线l的方程. 解 y＝e2x·cos 3x的导数为y′＝2e2x·cos 3x＋(－3sin 3x)·e2x ＝e2x·(2cos 3x－3sin 3x). 曲线在点(0,1)处的切线斜率为e0·(2 ... ...
