2021年暑期课程人教版数学讲义七升八第8讲：全等三角形的性质与判定（教师版+学生版）

2021暑期课程人教版七年级下册数学讲义初一升初二- 第8讲：全等三角形的性质与判定2 知识讲解 1、AAS ASA 1.角边角公理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”和“ASA”。 2.角角边定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”和“AAS”。 注意：用“ASA”定理来判断两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边对应相等；用“AAS”定理来判断两个三角形全等，要注意边是其中一角的对边， 例举两个三角形全等的条件时，列出全等的三个条件一定要按角边顺序的对应。 2、直角三角形HL 判定：直角三角形全等的条件：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。 注意：应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”。一般三角形全等的条件对直角三角形同样适用，但“HL”定理只适用于直角三角形全等的判定，对于一般三角形不适用。 3、常见辅助线 常见的几种辅助线添加： ①遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”； ②遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理； ③过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”； ④截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目． 例题精析 【教学建议】 此处内容主要用于教师课堂的精讲，每个题目结合试题本身、答案和解析部分，教师有的放矢的进行讲授或与学生互动练习。 例1 【题干】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE于点D． 求证：△BEC≌△CDA． 【答案】证明：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，∴∠BEC=∠CDA=90°， 在Rt△BEC中，∠BCE+∠CBE=90°，在Rt△BCA中，∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CBE=∠ACD， 在△BEC和△CDA中，，∴△BEC≌△CDA(AAS)． 【解析】本题根据AAS证明两三角形全等，难度适中． 例2 【题干】如图所示，将一长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，点D落在点E处，折痕为MN，图中有全等三角形吗？若有，请找出并证明． 【答案】∵四边形ABCD是长方形，∴AB=DC，∠B=∠C=∠DAB=90° ∵四边形NCDM翻折得到四边形NAEM，∴AE=CD，∠E=∠D=90°，∠EAN=∠C=90°． ∴AB=AE，∠B=∠E，∠DAB=∠EAN，即：∠BAN+∠NAM=∠EAM+∠NAM， ∴∠BAN=∠EAM．在△ABN与△AEM中，，∴△ABN≌△AEM（ASA）． 【解析】判定两个三角形全等时，必须有边参与，若有两边一角对应相等，角须是两边夹角． 例3 【题干】将矩形纸片沿其对角线折叠，使点落到点的位置，与交于点． （1）试找出一个与全等的三角形，并加以证明； （2）若为线段上任意一点，于，于．并求的值． 【答案】（1）△AED≌△CEB’。证明：四边形ABCD为矩形，∴B’C=BC=AD，∠B’=∠B=∠D=90°，又∵∠B’EC=∠DEA，∴△AED≌△CEB’． （2）由已知得：∠EAC=∠CAB且∠CAB=∠ECA，∴∠EAC=∠ECA。 ∴AE=EC=8-3=5，在△ADE中，AD=4，延长HP交AB于M，则PM⊥AB。 ∴PG=PM，∴PG+PH=PM+PH=HM=AD=4。 【解析】通过添加辅助线，利用折叠的性质，构造全等三角形。 例4 【题干】如图，CB，CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：CE=2CD． 【答案】证明：如图， 延长CD至点F，使DF=CD，连接BF． 在△ADC和△BDF中， ... ...