1.2 集合间的基本关系-2021-2022学年高一数学同步学案（人教A版2019必修第一册）（学生版+教师版）

中小学教育资源及组卷应用平台 1.2 集合间的基本关系 【学习要求】 1.理解集合之间的包含与相等的含义． 2.能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系． 3.在具体情境中，了解空集的含义并会应用． 【思维导图】 【知识梳理】 一、子集 定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集． 记法与读法：记作AB(或BA)，读作“A含于B”(或“B包含A”)． 或 重要结论： (1)任何一个集合是它本身的子集，即AA．(2)对于集合A，B，C，若AB，且BC，则AC． 对子集的理解： (1)“AB”的含义：若xA就能推出xB．(2)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A．此时记作AB或BA．(3)注意符号“”与“”的区别：“”只用于集合与集合之间，如{0}N，而不能写成{0}N；“”只能用于元素与集合之间，如0N，而不能写成0N． 二、集合相等 如果集合A是集合B的子集(AB)，且集合B是集合A的子集(BA)，那么集合A与集合B相等，记作A＝B．用Venn图表示如图所示． 对集合相等的理解：(1)A＝BAB，且BA，这是证明两个集合相等的重要依据； (2)集合相等还可以用元素的观点来定义：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等；(3)同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合相等的意义所在； 三、真子集 定义：如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我们称集合A是集合B的真子集． 记法：记作AB(或BA)． 结论：(1)AB且BC，则AC；(2)AB且A≠B，则AB． 四、空集 定义：我们把不含任何元素的集合，叫做空集． 记法： 规定：空集是任何集合的子集，即A 特性：(1)空集只有一个子集，即它本身， (2)是任何非空集合的真子集，即若A≠，则A 【高频考点】 高频考点1. 子集、真子集的概念 【方法点拨】 ①集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B，是判断A?B的常用方法． ②不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝?时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素． ③在真子集的定义中，A?B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x?A. 【例1】（2021·梁河县高一月考）下列命题中正确的是（ ） A．空集没有子集 B．空集是任何一个集合的真子集 C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集 D．设集合，那么，若，则 【答案】D 【详解】A选项，空集是其本身的子集，A错；B选项，空集是任一非空集合的真子集，B错； C选项，空集只有一个子集，即是空集本身；C错； D选项，若，则中元素都在中，中没有的元素，则中也没有；故D正确.故选：D. 【变式1-1】（2021·江西省吉水县高一期中）在①；②；③； ④ 上述四个关系中，错误的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解： “”表示集合与集合间的关系，所以①错误； 集合中元素是数，不是集合元素，所以②错误； 根据子集的定义，{0，1，2}是自身的子集，空集是任何非空集合的真子集，所以③④正确； 所表示的关系中，错误的个数是2．故选：B． 【变式1-2】（2021?宁县校级月考）对于集合A，B，“A?B”不成立的含义是（　　） A．B是A的子集 B．A中的元素都不是B的元素 C．A中至少有一个元素不属于B D．B中至少有一个元素不属于A 【解答】解：∵“A?B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素， ∴不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，故选：C． 【变式1-3】[多选题]（2021.山东高一期中）下列命题中，正确的有（　　） A．空集是任何集合的真子集； B．若A?B，B?C，则A?C； C．任何一个集合必有两个或两个以上的真子集； D．如果不属于B的元素也不属于A，则A?B 【 ... ...