中小学教育资源及组卷应用平台 1.3 集合的基本运算 【学习要求】 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集 2.能使用Venn图表示集合的并集、交集运算结果 3.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集与交集运算 4.理解全集、补集的概念，准确翻译和使用补集符号和Venn图，并能解决一些集合综合运算的问题． 【思维导图】 【知识梳理】 一、并集 1．并集的定义 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为集合A与B的并集，记作A∪B A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 2.并集的性质 A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪?＝A，A?A∪B. 二、交集 定义 文字语言 一般地，由属于A且属于B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作AB．(读作“A交B”) 符号语言 AB＝{x|xA，且xB} 图形语言 性质 (1)AA＝A，A＝； (2)AB＝BA；(3)ABA，ABB； (4)AB＝AAB；(5)(AB)C＝A(BC)； (6)(AB)(AB) 对交集的理解：(1)概念中“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合的元素． (2)概念中的“所有”两字不能省，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同元素全部找出．如A＝{1,2,3,4}，B＝{2,3,4,5}，则AB＝{2,3,4}，而不是AB＝{2,3}，{2,4}或{3,4}． (3)当集合A和集合B无公共元素时，不能说集合A，B没有交集，而是AB＝． (4)定义中“xA，且xB”与“x(AB)”是等价的，即由既属于A，又属于B的元素组成的集合为AB．而只属于集合A或只属于集合B的元素，不属于AB． 三、补集与全集 (1)全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，记作U． (2)补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作UA． 符号语言 UA＝{x|xU，且xA} 图形语言 性质 (1)UAU； (2)UU＝，U＝U；(3)U(UA)＝A； (4)A(UA)＝U；A(UA)＝ 对补集的理解：(1)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．(2)UA包含三层意思：①AU；②UA是一个集合，且UAU；③UA是由U中所有不属于A的元素构成的集合．(3)若xU，则xA或xUA，二者必居其一． 四、集合的运算 (1)集合的基本运算 ①对于用列举法表示的集合，这里要注意集合元素的特征，做到不重不漏． ②当集合A，B都有无穷多个元素时，应注意端点值的取舍，我们可以把端点值代入题目中进行验证． ③用描述法给出的集合，先明确集合中元素的一般符号及其共同特征，然后在确定了集合中元素的前提下，再着手进行集合的运算． (2)集合的混合运算 解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求(UA)B时，先求出UA，再求交集；求U(AB)时，先求出AB，再求补集． 注意以下规律：(1)①U(AB)＝(UA)(UB)，如图a；②U(AB)＝(UA)(UB)，如图b． (2).①A(BC)＝(AB)C． ②A(BC)＝(AB)C． ③A(BC)＝(AB)(AC)． ④A(BC)＝(AB)(AC)． 五、Venn图的应用 (1)借助于Venn图分析集合的运算问题，可以使问题简捷地获得解决．利用Venn图将本来抽象的集合问题直观形象地表现出来，体现了数形结合思想的优越性． 在使用Venn图时，可将全集分成四部分，如图所示． Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ这四部分的含义如下： Ⅰ：A(UB)； Ⅱ：AB； Ⅲ：(UA)B；Ⅳ：(UA)(UB)(或U(AB))． (2)比较集合运算的三种语言形式可以看出，Venn图可以把一些不明确的数量关系直观地表示出来，从而达到化繁为简、化抽象为直观的目的． 利用Venn图解决生活中的问题时，先把生活中的问题转化成集合问题，借助于Venn图的直观性把它表示出来，再根据集合中元素的互异性求 ... ...
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