1.3.1 第一课时　函数的单调性 师

中小学教育资源及组卷应用平台 1．3　函数的基本性质 1.3.1　单调性与最大(小)值 第一课时　函数的单调性 Q　 德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的，最初遗忘速度较快，以后逐渐缓慢．他认为“保持和遗忘是时间的函数”，并根据实验结果绘成描述遗忘进程的曲线，即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线．如下图： 这条曲线告诉我们，学习中的遗忘是有规律的，遗忘的进程是不均衡的，记忆的最初阶段遗忘的速度很快，后来就逐渐变慢了．这条曲线表明了遗忘规律是“先快后慢”．通过这条曲线能说明什么数学问题呢？ X　 1．增函数和减函数 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)__＜__ f(x2) f(x1)__＞__ f(x2) 那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．区间D称为函数f(x)的单调递增区间 那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．区间D称为函数f(x)的单调递减区间 图象 特征 函数f(x)在区间D上的图象是__上升__的 函数f(x)在区间D上的图象是__下降__的 图示 [知识点拨]　(1)函数f(x)在区间D上是增函数，x1，x2∈D，则x1f(x2)． 2．单调性 (1)定义：如果函数y＝f(x)在区间D上是__增函数__或__减函数__，那么就说函数y＝f(x)在区间D上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的__单调区间__. (2)图象特征：函数y＝f(x)在区间D上具有单调性，则函数y＝f(x)在区间D上的图象是上升的或下降的． [归纳总结]　基本初等函数的单调区间如下表所示： 函数 条件 单调递增区间 单调递减区间 正比例函数(y＝kx，k≠0)与一次函数(y＝kx＋b，k≠0) k＞0 R 无 k＜0 无 R 反比例函数 (y＝，k≠0) k＞0 无 (－∞，0)和 (0，＋∞) k＜0 (－∞，0)和 (0，＋∞) 无 二次函数 (y＝ax2＋bx＋c，a≠0) a＞0 [－，＋∞) (－∞，－] a＜0 (－∞，－] [－，＋∞) Y　 1．函数y＝f(x)在区间(a，b)上是减函数，x1，x2∈(a，b)，且x1＜x2，则有(　B　) A．f(x1)f(x2)，故选B． 2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是(　B　) A．y＝3－x B．y＝x2＋1 C．y＝ D．y＝－x2 [解析]　分别画出各个函数的图象，在区间(0,2)上上升的图象只有B． 3．若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有 >0成立，则必有(　A　) A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数 C．函数f(x)是先增后减 D．函数f(x)是先减后增 [解析]　由单调性的定义可知，对任意两个不相等的实数a、b，总有>0成立，则f(x)在R上是增函数，故选A． 4．已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f(a2－a＋1)与f()的大小关系为__f(a2－a＋1)≤f()__. [解析]　∵a2－a＋1＝(a－)2＋≥， 又∵f(x)在区间(0，＋∞)上为减函数， ∴f(a2－a＋1)≤f()． 5．判断并证明函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上的单调性． [解析]　函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数． 证明：设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x10. 又由x1