7.3.1 三角函数的周期性 第7章 2021 内容索引 01 02 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 课标阐释 思维脉络 1.结合具体实例了解周期函数、周期、最小正周期的定义.(数学抽象) 2.理解函数y=sin x,y=cos x,y=tan x都是周期函数,都存在最小正周期.(数学抽象) 3.会求函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)及y=Atan(ωx+φ)的周期.(数学运用) 课前篇 自主预习 情境导入 周期性,也称循环波动,是时间序列中呈现出来的围绕长期趋势的一种波浪形或振荡式变动.周期性通常是由商业和经济活动引起的,它不同于趋势变动,不是朝着单一方向的持续运动,而是涨落相间的交替波动;它也不同于季节变动,季节变动有比较固定的规律,且变动周期大多为一年,而循环波动则无固定规律,变动周期多在一年以上,且周期长短不一.在数学上,一个函数输出的数值会定期地发生重复,称为周期函数.你能从学过的函数中列举一个具有周期性的函数吗? 知识点拨 一、周期函数 1.周期函数的定义 一般地,设函数y=f(x)的定义域为A.如果存在一个非零的常数T,使得对于任意的x∈A,都有x+T∈A,并且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫作周期函数,非零常数T叫作这个函数的周期. 2.最小正周期 对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么,这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期. 名师点析 对周期函数的理解 (1)并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,则其周期也不一定唯一. (2)并非所有的周期函数都有最小正周期,如f(x)=C(C为常数,x∈R),所有的非零实数T都是它的周期,不存在最小正周期. 微思考 若函数f(x)的周期为T,则kT,k∈N*也是f(x)的周期吗?为什么? 提示 是,利用周期函数的定义,f(x)=f(x+T)=f(x+2T)=…=f(x+kT). 微练习 下列是定义在R上的四个函数的图象的一部分,其中不是周期函数的是( ) 答案 D 解析 根据周期函数图象特征可知A,B,C都是周期函数,D不是周期函数. 二、正弦函数、余弦函数、正切函数的周期 1.正弦函数、余弦函数的周期 正弦函数和余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期,它们的最小正周期都是 2π . 2.正切函数的周期 正切函数y=tan x是周期函数,并且最小正周期是 π . 3.函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)和y=Atan(ωx+φ)的周期 一般地,函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的周期为 .函数y=Atan(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的周期为 . 微思考 正弦函数y=sin x的周期是否唯一?正弦函数y=sin x的周期有哪些? 提示 正弦函数y=sin x的周期不止一个.±2π,±4π,±6π,…都是正弦函数的周期,事实上,任何一个常数2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期. 微判断 (1)正弦函数y=sin x的一个周期为4π.( ) (2)y=cos|x|是偶函数且周期为2π.( ) (3)y=|tan x|的周期为 .( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× 微练习 答案 3 课堂篇 探究学习 探究一 求三角函数的周期 例1求下列函数的周期: 反思感悟求三角函数最小正周期的方法 (1)定义法,即利用周期函数的定义求解. (2)公式法,对形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A≠0,ω≠0)的 (3)观察法,即通过观察函数图象求其周期. 答案 (1)2π (2)±2 探究二 利用周期求函数值 反思感悟(1)利用函数的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值. (2)利用函数周期性的定义,将所求转化为可求的x的函数值,从而可解决求值问题. (3)证明一个函数是周期函数,一般从定义出发,只需找到非零常数T,使对定义域内任意x都有f(x+T)=f(x)即可. 答案 2 变式训练2定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正 素养形成 周期函数在实际问题中的应用 典例若单摆中小球相对静止位置的位移x(单位:cm)随时间t(单位:s)的变化而周期性地变化 ... ...
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