2.2 充分条件、必要条件、充要条件 第2章 2021 内容索引 01 02 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 课标阐释 思维脉络 1.结合具体实例,理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.(数学抽象) 2.会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.(数学运算) 3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明.(逻辑推理) 课前篇 自主预习 情境导入 著名童话《爱丽丝漫游奇境记》的作者,英国牛津大学数学讲师卡罗尔曾提出如下趣题:如果已经知道以下信息:①室内所有有日期的信都是用蓝纸写的;②玛丽写的信都是以“亲爱的”开头的;③除了查理以外没有人用黑墨水写信;④我可以看到的信都没有收藏起来;⑤只有一页信纸的信中,没有一封没注明日期;⑥未作记号的信都是用黑墨水写的;⑦用蓝纸写的信都收藏起来了;⑧一页以上信纸的信中,没有一封是做记号的;⑨以“亲爱的”开头的信,没有一封是查理写的. 请判断:我是否可以看玛丽的信? 结论是什么呢?学习了本节内容后,运用充分、必要条件的知识进行逻辑推理就容易判断结果了. 知识点拨 一、充分条件与必要条件 “p?q”的含义是:一旦p成立,q一定也成立.即p对q的成立是充分的.也可以这样说:如果q不成立,那么p一定不成立.即q对p的成立是必要的.一般地,如果“p?q”,那么称p是q的充分条件,也称q是p的必要条件. 名师点析 1.对充分条件的理解 (1)充分条件是某一个结论成立应具备的条件,当命题具备此条件时,就可以得出此结论或使此结论成立. (2)只要具备此条件就足够了,当命题不具备此条件时,结论也有可能成立,例如x=6?x2=36,但是,当x≠6时,x2=36也可以成立,“x=-6”也是“x2=36成立”的充分条件. 2.对必要条件的理解 (1)必要条件是在充分条件的基础上得出的,真命题的条件是结论成立的充分条件,但不一定是结论成立的必要条件;假命题的条件不是结论成立的充分条件,但有可能是结论成立的必要条件. (2)“p是q的必要条件”的理解:若有q,则必须有p;而具备了p,不一定有q. 微思考 p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同? 提示 相同,都是p?q. 微练习 “x=2”是“x2-3x+2=0”成立的 条件.? 答案 充分 解析 由x2-3x+2=0得x=2或x=1,故“x=2”是“x2-3x+2=0”成立的充分条件. 二、充要条件 1.如果p?q,且q?p,那么称p是q的充分且必要条件,简称为p是q充要条件,也称q的充要条件是p. 2.如果p是q的充要条件,就记作p?q,称为“p与q等价”,或“p等价于q”. 3.“?”和“?”都具有传递性,即如果p?q,q?s,那么p?s;如果p?q,q?s,那么p?s. 名师点析 (1)若p?q,但q p,则称p是q的充分不必要条件. (2)若q?p,但p q,则称p是q的必要不充分条件. (3)若p?q,则称p与q互为充要条件. (4)若p q,且q p,则称p是q的既不充分又不必要条件. 微思考 若p是q的充要条件,则命题p和q是两个相互等价的命题,这种说法对吗? 提示 正确.若p是q的充要条件,则p?q,即p等价于q. 课堂篇 探究学习 探究一 充分条件、必要条件、充要条件的判断 例1指出下列命题中,p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种作答). (1)在△ABC中,p:∠A>∠B,q:BC>AC; (2)对于实数x,y,p:x+y≠8,q:x≠2或y≠6; (3)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3; 解 (1)在△ABC中,显然有∠A>∠B?BC>AC,所以p是q的必要条件. (2)由题得x+y≠8?x≠2或y≠6,但x≠2或y≠6 x+y≠8,所以p是q的充分不必要条件. (3)由(a-2)(a-3)=0可得a=2或a=3,则p q; 由a=3可以得出(a-2)(a-3)=0.因此,p是q的必要不充分条件. 反思感悟充分条件与必要条件的判断方法 (1)定义法 (2)等价法:将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题. 变式训练1(1)对任意实数a,b,c,在下列命题中,真命题是( ) A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B.“ac=b ... ...
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