2.3 全称量词命题与存在量词命题 第2章 2021 内容索引 01 02 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 课标阐释 思维脉络 1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.(数学抽象) 2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.(逻辑推理) 3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.(逻辑推理) 课前篇 自主预习 情境导入 在某个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的:“本人的理发技艺十分高超,誉满全城.我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸的人络绎不绝,这些人自然都是那些不给自己刮脸的人.可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了,他本能地抓起了剃刀.你们觉得他能不能给自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸.而如果他给自己刮脸,他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸. 这就是著名的“罗素理发师悖论”问题,如果我们学习了全称量词命题与存在量词命题的知识,就可以通过逻辑推理方法进行分析了. 知识点拨 一、全称量词与全称量词命题 1.全称量词 “所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词,通常用符号“?x”表示“对任意x”. 2.全称量词命题 含有全称量词的命题称为全称量词命题,它的一般形式可表示为:?x∈M,p(x),其中,M为给定的集合,p(x)是一个关于x的语句. 名师点析 常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.由于全称量词不同,因此,同一个命题的不同表述形式如下: 命题 全称量词命题“?x∈M,p(x)” 表述形式 ①对所有的x∈M,都有p(x)成立; ②对一切x∈M,都有p(x)成立; ③对每一个x∈M,都有p(x)成立; ④任选一个x∈M,都有p(x)成立; ⑤凡是x∈M,都有p(x)成立. 微练习 下列命题是否为全称量词命题?若是,请指出全称量词,并判断其真假. (1)所有的圆的圆心到其切线的距离都等于半径; (2)?x∈R,x2>0; (3)负数的平方都是正数. 解(1)是,全称量词是“所有的”,真命题. (2)是,全称量词是符号“?”,假命题. (3)是,省略了全称量词“任意一个”,真命题. 二、存在量词与存在量词命题 1.存在量词 “存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词,通常用符号“?x”表示“存在x”. 2.存在量词命题 含有存在量词的命题称为存在量词命题,它的一般形式可表示为:?x∈M,p(x),其中,M为给定的集合,p(x)是一个关于x的语句. 名师点析 常见的存在量词还有“有些”“对某些”等.由于存在量词不同,因此,同一个命题的不同表述形式如下: 命题 存在量词命题“?x∈M,p(x)” 表述形式 ①存在x∈M,使p(x)成立; ②至少有一个x∈M,使p(x)成立; ③对有些x∈M,使p(x)成立; ④对某些x∈M,使p(x)成立; ⑤有一个x∈M,使p(x)成立. 微思考 观察下面的两个语句,思考下列问题: P:m>8; Q:存在一个m∈Z,m>8. 上面的两个语句是命题吗?二者之间有什么关系? 提示 (1)语句P无法判断真假,不是命题;语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”,可以判断真假,是命题.语句P是命题Q中的一部分. 微练习 下列命题是真命题的是( ) A.?x∈R,x>0 B.?x∈R,x2+2x+3=0 C.有的三角形是正三角形 D.每一个四边形都有外接圆 答案 C 解析 对A,?x∈R,x>0显然不正确;对B,?x∈R,x2+2x+3=0,因为Δ<0,所以方程无解,命题不正确;对C,有的三角形是正三角形,显然正确;对D,每一个四边形都有外接圆,显然不正确.故选C. 三、含有一个量词的命题的否定 一般地,“?x∈M,p(x)”的否定为“?x∈M,????p(x)”,“?x∈M,p(x)”的否定为“?x∈M,????p(x)”.其中,“????p(x)”是对语句“p(x)”的否定. 名师点析 常见关键词及其否定形式 关键词 否定词 等于 不等于 能 不能 至少有一个 一个都没有 都是 不都是 没有 至少有一个 大于 不大 ... ...
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