2020年保加利亚TST试题（PDF版含答案）

2020年保加利亚TST试题解答与评析 本次赛事的六道题里面.第一题相对较简 第二、四 题属 档题.第三题则是较为困难的题目.主要难在不容易表 试题 在锐角 是外接圆.D 直径的圆与r的另一个交点M是AB的中点.CM交r于另一点Q.与r相 切 两点的两条直线交于点P而H是P在BQ上的垂 K是HQ 的一点满足Q在 之间.证明:∠HKP=∠ACE当且仅 设a.b是两个正奇数.证明:对任意 存在一个 整除ab2-1和b"a2-1中的一个数 的一些子集组成的集族,满足 (1)任 集都在 (2)对任 空集 Ω2.都 求|9 满足的最小值 棋盘上依次摆放一些棋子.规则如下:若 剩 格子中棋子的个数为偶数.那 以在这 格子中放一颗棋 放了M颗杉 后.甲发现他无法再 棋 能值是 5.设函数f:R→R满足对任意x.y∈R都有 f(a+y-f(a)-f(y) 存在一个唯一的函数g:R→R满足对任意x都有 都有 旁 于AB的直线交 F.点 C在 且满足∠BA E=BC.设Q是EC 交 EC.AB的交点.证 解答与评注 在锐角△ABC C>AC.T是外接 E是 为直径的圆与I的另一个交点.M是AB的 于 Q.与r 切于A.B两点的两条直线交于点P 是P在BQ上的垂 是HQ 满足Q 明:∠HKP=∠ACE当且仅当器 证明我们先证 ACE→ QZ 过 Y∥AB交CQ于Y则 ⊥PY可得 CPA QPM→∠APC 因为∠PBQ CQ=∠ACP所 ∠CBA Q 此△HZK~△AEC因为DE⊥EC,QZ⊥ZK,所以Q与D为相似对称 KQ D ACE 右 AC Q的延长线上必存在点K满足∠HKP=∠ACE,由前面的证明可得 KQ CD 为同一点 评注∠HKP=∠ACE→器=B的 比较容易找到相似三角形 ACE的证明则比较自然能够想 法 设a.b是两个正奇数 任意 整 和ba2-1中的一个数 不妨 明:对任意 个m∈N.使得 1) 所以有 若正整数t满足2n-x 1.而若正整数t满 假设 这与 矛盾.因 所以 数模2n互不 故它们必为 知(b2) 这里(62)是b2模2”意 的倒数.所以存在 (62)-2 本题考察原根在p=2时的推广,了解原根 知识点的可以比较 轻松地完成证明 00}的一些子集组成的集族,满足 (1)任何一个A的99-元子集都在 都存在一个元素c∈C使得C\{cl Ω可能满足的最小值. Ω2的最小值为673 对每个符合条 构 对应的 对集合A的任意子集S.都 有 仅当 g 足的性质为 对任意S∈Φ(S≠A)存在cS(c∈A)使{c} 此时等价于求 值 我们用f(x)表 的 集组成且满足条件①.②的集族 的元素个数的最小值,即求f(100 我们先证明 (2x)≤2f(x)+2x 先考虑集合{ }.将其分成两个集