3．2　导数的计算（Word含答案）

3．2　导数的计算 3.2.1　几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式 Q　 在17世纪60年代，牛顿就已经发现利用导数能解决数学和物理学科的许多问题．但是运用定义法求解导数运算太复杂，有时甚至无法完成．是否有更简单的求导方法呢？ X　 1．几个常用函数的导数 函数 导数 函数 导数 f(x)＝c f′(x)＝__0__ f(x)＝x f′(x)＝__1__ f(x)＝x2 f′(x)＝__2x__ f(x)＝ f′(x)＝__　－　__ 2．基本初等函数的导数公式 函数 导数 函数 导数 f(x)＝c f′(x)＝__0__ f(x)＝ax f′(x)＝__　axln a　__ (a>0) f(x)＝xα (α∈Q ) f′(x)＝__αxα－1__ f(x)＝ex f′(x)＝__ex__ f(x)＝sin x f′(x)＝__cos_x__ f(x)＝logax f′(x)＝__　　__ (a>0且a≠1) f(x)＝cos x f′(x)＝__－sin_x__ f(x)＝ln x f′(x)＝__　　__ Y　 1．下列结论不正确的是(　D　) A．若y＝0，则y′＝0 B．若y＝5x，则y′＝5 C．若y＝x－1，则y′＝－x－2 D．若y＝x，则y′＝x [解析]　当y＝x时，y′＝(x)′＝()′＝＝x－. D不正确．故应选D. 2．(2019·山东临沂高二检测)已知函数f(x)＝，则f′(3)＝(　A　) A．　　　　　　　　　　 B．0 C． D． [解析]　∵f′(x)＝，∴f′(3)＝＝. 3．已知函数f(x)＝，则f ′(－2)＝(　D　) A．4 B． C．－4 D．－ [解析]　∵f ′(x)＝′＝－， ∴f ′(－2)＝－|x＝－2＝－. 4．若f(x)＝tan x, f ′(x0)＝1，则x0的值为__　x0＝kπ，k∈Z　__. [解析]　∵f ′(x)＝(tan x)′＝， f ′(x0)＝1， ∴cos x0＝±1，∴x0＝kπ，k∈Z. 5．求下列函数的导数： (1)y＝a2(a为常数)； (2)y＝x12； (3)y＝x－4； (4)y＝lg x. [解析]　(1)∵a为常数， ∴a2为常数， ∴y′＝(a2)′＝0. (2)y′＝(x12)′＝12x11. (3)y′＝(x－4)′＝－4x－5＝－. (4)y′＝(lg x)′＝. H　 命题方向1　?求基本初等函数的导数 典例1　求下列函数的导数： (1)y＝x13；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝ . [解析]　(1)y′＝(x13)′＝13x12. (2)y′＝()′＝(x－3)′＝－3x－4. (3)y′＝()′＝(x)′＝x－. (4)y′＝′＝(x－)′＝－x－. 『规律方法』　1.用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较繁．利用常用函数的导数公式，可以简化求导过程，降低运算难度． 2．利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式，将题中函数的结构进行调整．如将根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导． 〔跟踪练习1〕 求下列函数的导数 (1)y＝；(2)y＝；(3)y＝2x； (4)y＝log3x. [解析]　(1)y′＝′＝(x－2)′ ＝－2x－3. (2)y′＝()′＝(x)′＝x－. (3)y′＝(2x)′＝2xln 2. (4)y′＝(log3x)′＝. 命题方向2　?求某一点处的导数 典例2　求函数f(x)＝在x＝1处的导数． [解析]　f ′(x)＝′＝(x－)′＝－x－－1 ＝－x－＝－， ∴f ′(1)＝－＝－， ∴函数f(x)在x＝1处的导数为－. 『规律方法』　求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是： (1)先求函数的导函数； (2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值． 〔跟踪练习2〕 已知f(x)＝，且f ′(1)＝－，求n. [解析]　f ′(x)＝′＝(x－)′ ＝－x－－1＝－x－， ∴f ′(1)＝－， 由f ′(1)＝－得－＝－，得n＝3. 命题方向3　?利用导数公式求切线方程 典例3　求过曲线y＝cos x上点P且与在这点的切线垂直的直线方程． [解析]　∵y＝cos x，∴y′＝－sin x， 曲线在点P处的切线斜率是 y′|x＝＝－sin＝－. ∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为， ∴所求的直线方程为y－＝， 即2x－y－＋＝0. 『规律方法』　1.求切线方程的步骤： (1)利用导数公式求导数． (2)求斜率． (3)写出切线方程． 注意导数为0和导数不存在的情形． 2．(1)在应用(sin x)′＝cos x与(cos x)′＝－sin x时，一要注意函数的变化 ... ...