2021-2022数学新学案同步（课件 练习）必修5人教A版全国通用版：第二章　数　列(2.4-2.5) (共8份打包)

(课件网) 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 第二章　§2.5　等比数列的前n项和 学习目标 1.理解等比数列前n项和公式的函数特征. 2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题. 3.会用错位相减法求和. 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一　等比数列前n项和公式的函数特征 思考　若数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，那么数列{an}是不是等比数列？若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－1呢？ 答案　当Sn＝2n－1时， 当Sn＝2n＋1－1时， 思考　若公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列吗？ 知识点二　等比数列前n项和的性质 答案　设{an}的公比为q，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n都不为0， Sn＝a1＋a2＋…＋an， S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n ＝a1qn＋a2qn＋…＋anqn＝qnSn， S3n－S2n＝a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n ＝an＋1qn＋an＋2qn＋…＋a2nqn ＝qn(S2n－Sn)， ∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn. 梳理　等比数列{an}前n项和的三个常用性质 (1)数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列. (2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N ). [思考辨析 判断正误] √ √ 题型探究 例1　已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且不等于1的常数)，求证：数列{an}为等比数列. 类型一　等比数列前n项和公式的函数特征应用 证明 证明　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1； 当n＝1时，a1＝a－1，满足上式， ∴an＝(a－1)·an－1，n∈N . ∴数列{an}是等比数列. 跟踪训练1　若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝____. 解析　显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)， 答案 解析 类型二　等比数列前n项和的性质 证明 证明　方法一　设此等比数列的公比为q，首项为a1， 当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1， 方法二　根据等比数列的性质有 S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn， 反思与感悟　处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元. (2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质. 解答 跟踪训练2　在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n. 解　因为S2n≠2Sn，所以q≠1， 答案 命题角度2　不连续n项之和问题 解析 解析　∵a2＋a4＋a6＋a8＝a1q＋a3q＋a5q＋a7q ＝q(a1＋a3＋a5＋a7) √ 反思与感悟　注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题的解决过程变得简洁明快. 跟踪训练3　设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则 ＝____. 126 答案 解析 解析　 ∴{ }是首项为b2，公比为2的等比数列. 类型三　错位相减法求和 解答 反思与感悟　一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是公比不为1的等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法. 解答 跟踪训练4　求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn (x≠0). 当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn， xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1， ∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1 达标检测 答案 1 2 3 4 1.已知等比数列{an}的公比为2，且其前5项和为1，那么{an}的前10项和等于 A.31 B.33 C.35 D.37 解析 √ 解析　设{an}的公比为q，由题意，q＝2，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1， 则a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝q5(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q5＝25＝32， ∴S10＝1＋32＝33. 答案 解析 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2， ∵{an}是等比数列，∴n＝1时也应适合an＝2x·3n－2， ... ...