4.2.2 等差数列的前n项和公式（教案）-高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章 数列 4.2.2 等差数列的前n项和公式 教学设计 一、教学目标 1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系以及等差数列的前n项和公式与二次函数的关系. 2.会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的计算问题. 3.会利用等差数列的通项公式与前n项和公式研究的最值. 4.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的实际问题. 5.掌握等差数列前n项和的性质并能正确应用. 二、教学重难点 1、教学重点 等差数列的前n项和公式及应用、等差数列的前n项和公式与二次函数的关系、. 2、教学难点 等差数列的前n项和公式及应用. 三、教学过程 1、新课导入 上节课我们已经学习了等差数列的概念和通项公式，这节课我们就来学习一下等差数列的求和问题. 2、探索新知 对于数列，设， 当n是偶数时，有， 于是有 . 当n是奇数时，有 . 所以，对任意正整数n，都有. 对公式作变形，可得，它相当于两个相加，而结果变成n个相加. 可以得到，， 将两式相加，可得 所以. 可以发现，上述方法将“倒序”为，再将两式相加，得到n个相同的数（即）相加，从而把不同数的求和转化为n个相同的数求和. 对于等差数列，因为，由上述方法，用两种方式表示： ，① .② ①+②，得 由此得到等差数列的前n项和公式. 对于等差数列，利用公式，只要已知等差数列的首项和末项，就可以求得前n项和. 另外，如果已知首项和公差，那么这个等差数列就完全确定了，所以也可以用和来表示. 把等差数列的通项公式代入公式，可得. 例1 已知数列是等差数列. （1）若，，求； （2）若，，求； （3）若，，，求. 解：（1）因为，， 根据公式，可得. （2）因为，，所以. 根据公式，可得. （3）把，，代入， 得. 整理，得，解得或（舍去）. 所以. 例2 已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？ 解：由题意，知，. 把它们代入公式，得，解得. 所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差. 例3 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位. 问第1排应安排多少个座位. 解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列，其前n项和为. 根据题意，数列是一个公差为2的等差数列，且. 由，可得， 因此，第1排应安排21个座位. 例4 已知等差数列的前n项和为，若，公差，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由. 解法1：由，得，所以是递减数列. 又由，可知： 当时，； 当时，； 当时，. 所以. 也就是说，当或6时，最大. 因为，所以的最大值为30. 解法2：因为， 所以，当n取与最接近的整数即5或6时，最大，最大值为30. 3、课堂练习 1.已知等差数列的前n项和为，若，，则该数列的公差为( ) A. B.2 C. D.3 答案：B 解析：设等差数列的公差为d，由，，解得，故选B. 2.设等差数列的前n项和为，若，是方程的两根，则( ) A.8 B.52 C.45 D.72 答案：B 解析：由一元二次方程根与系数的关系，可得， 则，故选B. 9.已知数列是等差数列.若，，且数列的前n项和有最大值，则取得最大正值时n等于( ) A.20 B.17 C.19 D.21 答案：C 解析：由等差数列的性质可得，又且有最大值，可得，，则有，而，进而可得取得最大正值时n等于19. 12.设数列的前n项和为，点均在函数的图像上，则数列的通项公式_____. 答案： 解析：依题意得，即，所以数列为等差数列，且，，设其公差为d，则，所以. 4、小结作业 小结：本节课学习了等差数列的前n项和公式及其应用. 作业：完成本节课课后习题. 四、板书设计 4.2.2 等差数列的前n项和公式 1.等差数列的前n项和公式为可以写成. ... ...