中小学教育资源及组卷应用平台 二次函数之等腰三角形 1.如图．已知二次函数的图象与轴的一个交点为，与轴交于点． ⑴ 求此二次函数关系式和点的坐标； ⑵ 在轴的正半轴上是否存在点．使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】⑴ 把点代入二次函数有：得： 所以二次函数的关系式为：． 当时， ∴点的坐标为． ⑵ 如图： 作的垂直平分线交轴于点，连接， 则： 设，则， 在直角中， 即： 解得： ∴ 所以点的坐标为： 2. 如图，抛物线与轴交于、两点，直线与抛物线交于、两点，其中，，点的纵坐标为． ⑴ 求的值； ⑵ 求抛物线的解析式； ⑶ 抛物线上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？如果存在，写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】⑴ 由题意得，把点代入一次函数，得 ∴ ∴ ∴一次函数的解析式为 ⑵ 设抛物线的解析式为 把点的纵坐标为代入 ∴ ∴点 由题意得 解得 ∴抛物线的解析式为 ⑶ 存在 过点作轴，过点作轴，则点 ∴是等腰三角形 ， ∴ ∴ ∵直线与轴交于点，则 则 ∴ 过作轴，垂足为点 ∵ ∴是等腰三角形 ∴ ∴ 由点和点，求出直线的解析式为 ∴ 得 解得， ∴满足条件的， 3. 已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中点在轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段、的长（）是方程的两个根，且抛物线的对称轴是直线． ⑴ 求A、B、C三点的坐标； ⑵ 求此抛物线的表达式； ⑶ 连接、，若点E是线段上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作交于点F，连接，设的长为m，的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； ⑷ 在⑶的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时的形状；若不存在，请说明理由． 【答案】解：⑴解方程得， ∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且 ∴点B的坐标为，点C的坐标为 又∵抛物线的对称轴是直线 ∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为 ⑵∵点在抛物线 的图象上 ∴， 将、代入表达式，得 解得 ∴所求抛物线的表达式为 ⑶依题意，，则， ∵，，∴ ∵ ∴ ∴ 即 ∴ 过点作，垂足为，则 ∴ ∴ ∴ 自变量m的取值范围是 （4）存在． 理由：∵且， ∴当时，S有最大值， ∵，∴点E的坐标为 ∴为等腰三角形． 4. 已知抛物线经过、、三点，直线是抛物线的对称轴． ⑴ 求抛物线的函数关系式； ⑵ 设点是直线上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标； ⑶ 在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】⑴ 将、、代入抛物线中， 得，解得： ∴抛物线的解析式：． ⑵ 连接，直线与直线的交点为； 设直线的解析式为，将，代入上式， 得，解得： ∴直线的函数关系式； 当时，，即的坐标． ⑶ 抛物线的解析式为：，设，已知、， 则，，； ①若，则， 得， 得； ②若，则， 得，得； ③若，则， 得，得：，； 当时，、、三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去； 综上可知，符合条件的点，且坐标为． 5. 如图, 已知抛物线与轴相交于，与轴相交于、，点的坐标为，点的坐标为. ⑴ 求抛物线的解析式； ⑵ 点是线段上一动点，过点作于点，连结，当的面积最大时，求点的坐标； ⑶ 在直线上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，求点坐标，若不存在，说明理由. 【答案】⑴ ∵二次函数的图像经过点， ∴ 解得： ∴二次函数的解析式为 ⑵ 设点的坐标为 ∴ ∴ 由 得 ∴ ∴ ∴的面积 当时，的面积最大 ∴点的坐标为 ⑶ 存在 由(1)知：二次函数的解析式为 设则 解得：， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为： ∴ 解得：， ∴直线的解析式为: 在中，，， 由勾股定理得： ∵点，点 ∴， ①当以点为顶 ... ...
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