2021年全国高中数学联赛山东赛区预赛试卷（PDF含答案）

姓名 学校 坐号 2021年全国高中数学联赛山东赛区预赛试卷 填空题(本题共12道小题每题5分,共60分) 得分 1设集合A={a,a2a3,a}所有三元子集的三数之积构成集合B={24,30,40,60 则A 2已知Rt△ABC的三个顶点A,BC均在抛物线yx2上,并且斜边AB平行 ⅹ轴,则斜边AB上的高CD等于 3若非零实数a,b,c分别是一等差数列的第m,np项也是一等比数列的第 m1,项则abc的值是 4过椭圆x2+2=1上一点P作圆x2+y2=4的两条切线, 切点弦所在直线与x,y轴分别交于点EF则△EOF 面积的最小值是 5已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形, ∠ACB=90,AC=6BC=CC1=√2P是BC1上一动点 则CP+PA1的最小值是 6.将两个a和两个b共4个字母填入4×4的方格表内,每格至多填一个字 母,则相同字母既不同行又不同列的填法种数是 7不等式og,(++)2lg2x的解集是 8设xy∈R+,则∫=x+2+2+2的最大值是 Al+ lZ+ Zl +uv 9四面体OABC中,∠AOB=450,∠AOC=∠BOC=30,则二面角A-OC一B的 平面角a的余弦值是 10.在直径为√2+1,高为8的圆柱形桶内装直径为1的球最多可装个; 11数列{an}为:1,1,2,1,1,2,3,1,1,2,1,1,2,3,4…即先取a1=1,接着复制该项粘贴 在后面作为a2,并添加后继数2作为a,再复制所有项1,1,2并粘贴在后面作 为a4,as,a6,并添加后继数3作为a,…依次继续下去.则a021 12.如图,已知凸六边形的对角线AD,BECF交于O,且两两 夹角都是609,若AB=1,BC=2V2,CD=DE=5,EF=4,FA=3.则 该凸六边形面积S的最大值是 二解答题(本题共4道小题每题15分,共60分) 13求正实数a的取值范围使得关于x的不等式loga≤x≤a在区间(0,+a) 上恒成立;并指出当a为何值时-函数y=a与y= Logan的图象有交点? 得分 14设p为椭圆C:。+y2=1上第一象限内的任一点F1F2为左右焦点,直线 PFP:分别交C于MN若列=M,=AN,得分 求点P坐标使得直线MN的斜率等于 15求最小常数λ,使不等式x(x2+y2)+yz(y2+z2)+x(z2+x2)≤(x+y+z) 对所有非负实数xyz都成立 得分2021年全国高中数学联赛 山东赛区预赛试题参考答案 填空题(本题共12道小题每小题5分共60分) 1设集合A={a,0m2as,an}所有三元子集的三数之积构成集合B={(24,3040,60} 解:因所有三元子集的元素之积(a1a2a3a)3=24×30×40×60=172800120, 所以aaa3a=120,分别除以B中元素即得A={2,3,4,5} 2已知Rt△ABC的三个顶点A,BC均在抛物线y=x2上,并且斜边AB平行 x轴,则斜边AB上的高CD等于 解:设A(-a,a),B(a,a2),C(c,c2),则K·KB c+a c2-a2=-1即a2-c2=1,所以CD2=ADBD(a+c)(a-c) a2-c2=1,故CD 3若非零实数abc分别是一等差数列的第m,1np项,也是一等比数列的第 m,n2p项则ab°c的值是 解:设等差数列首项A公差d等比数列首项B公比q1则有a=A+(m-1)d= Bq, b=A+(n-1)d=Bq", c=A+(p-1)d=Bqp-l, FrLb-c=(n-p)d, c-a (p-m)d= Bq", a-b=(m-nd, ta-be-ca-d= a-pdb(p-m)dc(m-m) =B(np)+(pm)l+mn-)0.a1(m-m-p)d+(n1Xpm)d+(plam-nd=Bq=l (xo, o) 4过椭圆x2+=1上点P做圆x2y2=4的两条切线切点 弦所在直线与xy轴分别交于EF则△EOF面积最小值是 解:设Px,yo)则切点弦为xx+yy=4,E(4,0),F(0,.4),由 2 1=x2+-102x51n即xk1,得S1∥÷8, 当1x=1n=√等号成立故△EOF面积最小值是8 5.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形,∠ACB=90°,AC=6, BC=CC1=√2,P是BC1上一动点。则CP+PA1的最小值是 解:设BP=x,则CP+PA1√x2-2x+2+√(x-2)2+62 √(x-1)2+12+√(x-2)3+62表示点Q(x,0)到M(1,1), N(2,-6)距离之和故CP+PA)m=MN=5√2 6.将两个a和两个b共4个字母填入4×4的方格表内,每格至多填一个字 母,则相同字母既不同行又不同列的填法种数是 解两个a的填法16x9=72种,两个b的填法16×9=7种,两个a格内都填b 2! 的填法72种,两个a格内恰有一个填b的填法C4=16×72种故相同字母不 同行不同列的填法种数是72272-16×72=3960 3223 12 另两a的填法72种两b的填法2 ... ...