中小学教育资源及组卷应用平台 圆锥曲线的离心率问题 大家知道，圆锥曲线的离心率问题是近几年高考的热点内容之一，可以毫不夸张地说，不管是高考，还是高三的诊断考试，基本上是每卷都有出现。从题型上看，属于5分小题，可能是选择题，也可能是填空题；从考试的深难度来看，属于中、高档题。纵观近几年高考试题，归结起来圆锥曲线离心率问题主要包括：①已知圆锥曲线满足某一条件，求圆锥曲线的离心率；②已知圆锥曲线满足某一条件，求圆锥曲线离心率的取值范围。各种问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答圆锥曲线离心率问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过对典型例题的详细解析来回答这个问题。 【典例1】解答下列问题： 1、如图，双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的左右焦点分别是（-c，0），（c，0），直线y=与双曲线C的两条渐近线分别相较于A，B两点，若B=，则双曲线 的离心率为（ ）（2020成都市高三二诊） A 2 B C D 【解析】 【考点】①双曲线的定义与性质；②等腰梯形的定义与性质；③双曲线离心率的定义与基本求法。 【解答思路】题中没有确定焦点在X轴还是Y轴，按理应该分两种情况分别考虑，但椭圆离心率只与长半轴和半焦距有关，这样两种情况求出的结果是一致的，为使问题简化，这里只考虑焦点在X轴上的情况。由正三角形的定义与性质结合椭圆的定义分别求出a，c的值，然后根据椭圆离心率的公式e= 求出结果； 【详细解答】如图，过点B作BDX轴于D，联立y=-x与 y=解得x=- ，y=， B（-，），RtBD中，D=-c+=，BD=，B=，==，=3，=+=4，==4，e=2，A正确，选A。 2、已知、是椭圆两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若AB是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A B C D 【解析】 【考点】①椭圆的定义与几何性质；②椭圆离心率的定义与求法；③正三角形的定义与性质； 【解答思路】题中没有确定焦点在X轴还是Y轴，按理应该分两种情况分别考虑，但椭圆离心率只与长半轴和半焦距有关，这样两种情况求出的结果是一致的，为使问题简化，这里只考虑焦点在X轴上的情况。由正三角形的定义与性质结合椭圆的定义分别求出a，c的值，然后根据椭圆离心率的公式e= 求出结果； 【详细解答】如图AB是正三角形，AX轴， y A=，|A|=2|A|，设|A| =2， A 则|A|=1，在RtA中，tan= = x =， c=， |A|+ |A|=1+2=3=2a， a=， e= = = ，C正确，选C。 3、已知双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的左，右焦点分别为，，抛物线=2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点，设P为抛物线与双曲线C的一个交点，且cosP=，则双曲线C的离心率为（ ） A 或 B 或3 C 2或 D 2或3 【解析】 【考点】①双曲线的定义与几何性质；②双曲线离心率的定义与求法；③抛物线的定义与性质；④曲线交点的定义与求法； 【解答思路】题中给出了双曲线方程，已经明确焦点在X轴上，根据问题条件结合双曲线，抛物线的定义与性质分别求出a，c的值，然后由双曲线离心率的公式e= 求出结果； 【详细解答】如图，过作垂直于X轴的直线l， y 过P作PQl于Q，抛物线=2px（p＞0）与 Q P 双双曲线C有相同的焦点，P是抛物线与 双曲线C 的一个交点，|PQ|=|P|， QP=P， O x cosP=，cosQP===， |P|=|P|，设|P|=7， 则|P|=5，|P|-|P|=7-5=2=2a，a=1，在P中， |P|= |P|+|||-2|P||| cosP，25=49+4-272c，-5c+6=0，c=2或c=3， e= = =2或e= = =3，C正确，选C。 〖思考问题1〗 （1）【典例1】是运用公式e= 求椭圆（或双曲线）离心率的问题，解答这类问题的关键是根据题给条件求出椭圆的长半轴a和半焦距c（或双曲线的实半轴a和半焦距c）； （2）注意从实例解析中体会椭圆（或双曲线）定义的巧妙运用，同时数形结合的数学思想也是解题过程中 ... ...
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