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课件网) 热烈欢迎各位老师！ 选修2-3第一章1.3.1 二 项 式 定 理 贾宪 杨辉 帕斯卡 二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664-1665年间提出． 二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中都有广泛的应用． 你能展开下面式子吗？ (a+b)2 思想共鸣 经验共享 = a2 +2ab+b2 提问：你能从组合的角度说明 是如何展开的吗？ (a+b)2 第一探 多项式乘法法则： 用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加. 展开式中的各项:从每个括号中各取一个字母乘积构成的. 一、情境探索 第一探 对(a+b)2展开式的分析： (a+b)2＝ (a+b) (a+b)=a×a+ a×b+ b×a+ b×b ＝ a2 +2ab +b2 展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2 展开式中每项出现的次数：1,2,1 考虑b: 恰有0个括号取b的情况有C20 种,则a2前的系数为C20 恰有1个括号取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个括号取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22 (a+b)2 = C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 = a2 +2ab+b2 思想共鸣 经验共享 项的形式： 项的系数： 展开式： 第二探 对(a+b)3展开式的分析： 考虑b: 恰有0个括号取b的情况有C30 种,则a3前的系数为C30 恰有1个括号取b的情况有C31种，则a2 b前的系数为C31 恰有2个括号取b的情况有C32 种，则ab2前的系数为C32 恰有3个括号取b的情况有C33 种，则b3前的系数为C33 第二探 请同学们类比 的展开式的特征及方法，你能直接写出 (a+b)4 的展开式吗？ (a+b)2 ， 思想共鸣 经验共享 (a+b)3 第三探 思考：根据以上几个式子的展开式的特点（从展开式项和项的系数出发），你能大胆猜想 的展开式吗？ ①项的形式： L L ②项的系数： 思想共鸣 经验共享 二、二项式定理 这个公式叫做二项式定理. 式中的Cnk an-kbk（k∈N ）叫做二项展开式的通项，记作：Tk+1 即： k=0,1,2,……n 第 k+1项 思想共鸣 经验共享 其中 叫做二项式系数. 等号右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式. 特征： （1）二项展开式共有n+1项， （2）每一项中a与b的指数和为n ， （3）各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止 各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止。 思想共鸣 经验共享 对二项式定理进一步认识： 特别地: 令a=1，b=x 对二项式定理再认识： 例1. 求 的展开式. 小试牛刀 第三项 第四项（常数项） 三、例题分析 解 (1)求(1+2x)7的展开式的第4项的系数； 解 所以，(1+2x)7的展开式的第4项的系数是280. 当k=3时，T3+1=C73 ? 17-3 ? (2x)3 =35×23×x3 =280x3 (2)求 的展开式中x3的系数. (1+2x)7的展开式的第4项的二项式系C73=35.一个二项展开式的某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念. 二项式系数； 例2、二项式定理通项 的应用： Tk+1=C7k ? 17-k ? (2x)k ,k=0,1,2,…,n 例2、二项式定理通项 的应用： 解 分析: 先求出x3是展开式的那一项,再求它的系数 根据题意得 9-3k =3，所以 k =2 因此x3系数是 (-1)2C92=36 这个展开式有常数项吗？如果有，是多少呢？ 四、课堂练习 2. 的展开式中含 项的系数是 1. 的展开式的常数项是 思想共鸣 经验共享 五、课堂小结 1.二项式定理 2.二项展开式的通项 3.区别二项式系数和项的系数. 思想共鸣 经验共享 你学到了什么 六、布置作业 1、课本 习题1.3 A组4，5 2、选做题 思想共鸣 经验共享 谢谢大家！ ... ...
