《等比数列的前n项和》教案 ●教学目标 掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题；经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题；在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。 ●教学重点 等比数列的前n项和公式推导 ●教学难点 灵活应用公式解决有关问题 ●教学过程 [提出问题]“国王对国际象棋的发明者的奖励” [分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。 等比数列的前n项和公式： 当时， ① 或 ② 当q=1时， 当已知, q, n 时用公式①；当已知, q, 时，用公式②. 公式的推导方法一： 一般地，设等比数列它的前n项和是 由 得 ∴当时， ① 或 ② 当q=1时， 公式的推导方法二： 有等比数列的定义， 根据等比的性质，有 即 （结论同上） 围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式． 公式的推导方法三： ＝ ＝＝ （结论同上） [解决问题] 有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。 由可得 ==。 这个数很大，超过了。国王不能实现他的诺言。 ●重难点讲解 2．等比数列的前n项和的常用性质 (1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{}中，公比为q． ①若共有2n项，则：＝q； ②若共有2n＋1项，则－＝(q≠1且q≠－1)． (2)“片断和”性质：等比数列{}中，公比为q，前m项和为 (≠0)，则，－,－，…，－…构成公比为的等比数列，即等比数列的前m项的和与以后依次m项的和构成等比数列． (3)“相关和”性质：＝＋ ＝(q为公比)． [例题讲解] 【例1】已知等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比与项数． 【点拨】由题目可获取以下主要信息： ①等比数列的奇数项与偶数项分别依次构成等比数列； ②当项数为2n时，：＝q． 解答本题的关键是设出项数与公比，然后建立方程组求解． 【解析】设此等比数列共2n项，公比为q． 由于≠，∴q≠1． 由于奇数项依次组成以为首项，以q2为公比的等比数列， 故所有奇数项之和为＝＝85 ① 同理可得所有偶数项之和为 ＝＝170 ② ②÷①，得q＝2，代入①得＝256， 解得2n＝8，所以这个数列共8项，公比为2． 【规律方法】本题利用了等比数列的“子数列”性质，若等比数列的项的序号成等差数列，则对应项依次成等比数列．另外，两个等式之间的除法运算体现了“整体消元”的方法技巧． 【例2】某同学若将每月省下的零花钱5元在月末存入银行，月利按复利计算，月利为0．2％，每够一年就将一年的本和利改存为年利按复利计算，年利为6％，问三年取出本利共多少元(结果保留到个位)? 【点拨】由题目可获取以下主要信息： ①每月将5元在月末存入银行，月利率为0．2％； ②每够一年将一年的本利和改存为年利按复利计算，年利为6％． 解答本题可先建立数学模型用数列知识求解后再回归实际 问题． 【解析】为了便于思考一年内每月的存款的本金和利息的和 按月分开算． 第一年内的本息和可分为： 第一个月：5(1＋0．2％)11，第二个月：5(1＋0．2％)10，…， 第十二个月：5． 5(1＋0．2％)11＋5(1＋0．2％)10＋…＋5＝5·． 于是三年后取出时第一年所存钱的本息和为 5· (1＋6％)2． 同理第二年所存钱在最后取时本息和为 5··(1＋6％). 第三年所存钱在年底取出时的本息和为5·． ∵每月存5元，月利为0．2 ％，年利为6％， ∴三年后取出的本息和为 5·(1＋6％)2＋5·( ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
