平面及其基本性质 【教学目标】 1．理解平面的基本性质，能用三个公理三个推论解决简单的空间线面问题； 2．了解一些简单的证明； 3．培养空间想象能力，提高学习数学的自觉性和兴趣。 【教学重难点】 三个公理、三个推论。 【教学过程】 一、讲授新课 1．公理1： 如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上。（直线在平面上） 用集合语言表述：。 2．公理2： 如果不同的两个平面、有一个公共点A，那么、的交集是过点A的直线。（平面与平面相交） 用集合语言表述：。 3．公理3和三个推论： （1）公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面。（确定平面）这里“确定”的含义是“有且仅有”。 用集合语言表述：A，B，C不共线=>A，B，C确定一个平面。 （2）推论1：一条直线和直线外的一点确定一个平面。 证明： 设A是直线外的一点，在直线上任取两点B和C，由公理3可知A，B和C三点能确定平面。又因为点，所以由公理1可知B，C所在直线，即平面是由直线和点A确定的平面。 用集合语言表述：。 （3）推论2：两条相交的直线确定一个平面。 用集合语言表述：。 （4）推论3：两条平行的直线确定一个平面。 用集合语言表述：。 4．例题解析： 例1：如图，正方体中，E，F分别是的中点，问：直线EF和BC是否相交？如果相交，交点在那个平面内？ 解：； 又，则直线EF和BC共面； 。 设直线EF和BC相交于点p，则p在直线BC上，即点P在平面ABCD上。 说明：利用公理1确定直线在平面内。 例2：如图，若，求证：直线C必过点P。 解：。 结论：三个平面两两相交得到三条交线，若其中两条交于一点，另一条必过此公共点。 例3：空间三个点能确定几个平面？空间四个点能确定几个平面？ 解：三点共线有无数多个平面；三点不共线可以确定一个平面。所以三点可以确定一个或无数个平面。 四点共线有无数个平面；有三点共线可确定一个平面；任意三点不共线能确定1个或3个平面。所以四点可以确定1个或3个或无数个平面。 说明：公理3的简单应用。 例4：空间三条直线相交于一点，可以确定几个平面？空间四条直线相交于一点，可以确定几个平面？ 解：三条直线相交于一点可以确定1个或3个平面； 四条直线相交于一点可以确定1个、4个或6个平面。 说明：推论2的简单应用。 例5：如图，AB//CD，，求作BC与平面的交点。 解：连接EF和BC，交点即为所求BC与平面的交点。（公理3和公理2） 说明：推论3的简单应用。 三、课堂小结 1．公理1：确定直线在平面内； 2．公理2：平面与平面相交于一直线； 3．公理3和三个推论确定平面的条件。 α 1/1
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