高中数学公式证明（PDF版）

高中数学定理证明汇总 必修 1 P64 分数指数幂的定义、根式解释： 一般的，给定正实数 a,对于任意给定的正整数 m,n,存在唯一的正实数 b,使得 bn=am,我们把 b 叫作 a m m 的 次幂，记作 b a n ， 它就是 正分数指数幂 。 n m n n m 有时我们把正分数指数幂写成 根式形式，即 a a （a>0） P81 对数的运算性质： 如果 a>0, a 1 ,M>0,N>0, 则 （1） loga(MN)=log aM+log aN; （2） log naM =n· logaM (n R)； （3） loga M =log aM-log aN. N 证明： 设 logaM=p,log aN=q, p q则由对数定义得 a =M,a =N. 因为 MN=a paq=ap+q，所以 p+q=log a(MN) 即 log a(MN)=log aM+log aN P84 换底公式： loga N logbN= b (a,b>0,a,b≠1,N>0) loga 证明： 设 x=log N, N=b x. b 根据对数定义，有 两边取以 a为底的对数，得 logaN=log abx. 而 log xab =xlog ab,所以 logaN=xlog ab. loga N 由于 b≠1,则 logab≠0，解出 x,得 x= logab , loga N 因为 x=log bN,所以 log bN= loga b 1 很容易由换底公式得到 log ba= logab 必修 2 P24 平面的基本性质的推论： 1.经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。 2.经过两条相交直线，有且只有一个平面。 3.经过两条平行直线，有且只有一个平面。 证明推论 2： 设 a b A，在直线 a上取点 B，且 A、B 不重合，在直线 b 上取点 C，且 A、C 不重合。 因为 A、B、C不重合 则有且仅有一个平面 经过 A、B、C 因为点 A、B 都在直线 a上 1 所以直线 a在平面 内 同理直线 b也在平面 内 所以经过两条相交直线只有一个平面。 推论 3：证明： 设直线 a∥b,任取点 A a, B a，取点 C b，则三点 A、B、C确定一个平面 ABC . 再任取 C 以外一点 D b 假设过两条条直线 a、b 有两个或以上平面 即平面 ABC 、平面 ABD 是两个不同的平面且相交于 AB，且点 C、D 不在直线 AB 上 得出 AB CD 是异面直线 与 a∥b 冲突 所以，假设错误 P28 定理 5.1 若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 P30 定理 5.2 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 P31 定理 5.3 如果一条直线与一个平面平行，那么过这直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平 行。 P32 定理 5.4 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． P36 定理 6.1 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直． P37 定理 6.2如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． P39 定理 6.3 如果两条 直线同垂直于一个平面， 那么这两条直线平行． 证明：一般的，如果直线 a⊥平面 ，直线 b⊥平面 ,这时， a 和 b 平行吗？ 如图，假设 a和 b 不平行。 设 b 与 a交于点 O，b '是经过点 O与 a平行的直线。 因为 a∥b ',a⊥平面 ,所以， b'⊥平面 。 这样，经过同一点 O 的直线 b,b'都垂直于平面 ，这是不可能的。 因此， a∥b。 P40 定理 6．4 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它 们交线的直线垂直于另一个平面。 在一般情况下，平面 α⊥平面 β， =MNB ，这时，直线 AB 和 平面 α垂直吗？ 如图，在平面 α内作直线 BC MN，则 ABC 是二面角 α-MN- β 的平面角，因为平面 α⊥平面 β，所以 ABC=90 °，即 AB⊥BC，又 已知 AB⊥MN,从而 AB⊥α。 P47 S 2 4 3球面=4πR ，V 球= πR 3 P73 △ABC 中， D 是 BC 边上任意一点（ D 与 B,C 不重合），且 |AB| 2=|AD| 2+|BD| |DC|.求证：△ ABC 为等腰三角形。 解：作 AO⊥BC,垂足为 O,以 BC 所在直线为 x轴，以 OA 所在直线 为 y轴，建立直角坐标系。 设 A（ 0，a）,B（b，0） ,C（c， 0） ,D（d，0） , 因为 |AB| 2=|AD| 2+|BD| |DC|，所以，由距离公式可得 2 2 2 2 b +a =d +a ... ...