正弦函数和余弦函数的图像与性质 【教学内容】 正余弦函数的性质（值域、最大（小）值、周期性、奇偶性、单调性）是继学生学习了正余弦函数的图像后的重要内容。是深入学习后继数学知识及解决实际问题的基本工具。尤其是三角函数的周期性在物理学中、科技生产中有着广泛的应用。在本节学习中，涉及到数形结合、类比、换元、化归等数学思想方法。通过解决有关实际问题，充分显示了三角函数来源于实践需要，同时又广泛应用于客观实际。 本单元重点掌握正（余）弦函数的值域；正（余）弦函数取得最大小值时的自变量的取值集合。理解函数周期性定义，会求一般正（余）弦函数的周期。掌握正（余）弦函数的奇偶性及单调区间。会用正（余）弦函数的性质解决简单的实际问题。 【教学目标】 （1）掌握正（余）弦函数的值域（有界性）。 （2）掌握正（余）弦函数取最大（小）值时，自变量x的取值集合。 （3）会用正（余）弦函数的值域（有界性）解决相关实际应用问题。 【教学重难点】 正（余）弦函数取最大（小）值时，自变量x的取值集合。 【教学过程】 正弦函数和余弦函数的值域 （一）情景引入 1．观察： 在上节课中，我们探讨了正余弦函数的图像。请同学们观察图像。 2．思考： 正余弦函数的值域是什么？值域的涵义是什么？ 3．讨论： 回忆正弦函数图像的作图过程。结合正弦线的长度变化情况易得 （二）学习新课 1．概念辨析：y=sinx的值域是［-1，1］ ，当且仅当 ，当且仅当 类似地： y=cosx的值域是［-1，1］ 当且仅当 当且仅当 正弦函数、余弦函数的值域相同，但取得最大值1和最小值-1时的x的集合不同。 2．典型例题分析 例一、求下列函数的定义域与值域 （1） （2） 分析：（1）∵y=sinx的定义域为R，值域是［-1，1］； ∴的定义域应是2x∈R，即x∈R，值域是［］； （2）虽然y=cosx的定义域为R，值域是［-1，1］。但本题中-2cosx作为二次根式的被开方数，所以-2cosx≥0，即cosx≤0.根据余弦比的符号可求得x求值范围，并由0≤-2cosx≤2，可得函数值域。 解：（1）定义域为R，值域是［］； （2）定义域为，值域为。 3．问题拓展 例二、一般地函数 当A＞0，，此时x的取值可由解得： ，此时x的取值可由解得： 当A＜0，，此时x的取值可由解得： ，此时x的取值可由解得： 4．一般地对于，可化为正弦形式。对于实际问题求最大小值时，要注意角x的取值范围。 （三）巩固练习 1．已知α是第四象限角，且求实数m的取值范围。 2．函数的值域为［-4，2］，求a、b的值。 3．求函数的定义域和值域。 （四）课堂小结 正（余）弦函数的值域、取得最大（小）值时的x取集合值。 【作业布置】 1．求函数的值域。 2．求函数的最大值、最小值及其相应的x值。 3．要在一个半径为R的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD，问应如何截取，并求出此矩形的面积。 4．求函数的值域。 3 / 3 ... ...
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