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课件网) 垂直关系 习题课 垂直关系 习题课 复习与回顾 一 、线面垂直的定义和判定定理： 1．如果一条直线和一个平面内的 都垂直，那么称这条直线和这个平面 ． 2．直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的 直线都垂直，那么该直线与此平面垂直． 任何一条直线 垂直 两条相交 二 、面面垂直的定义和判定定理： 1. 两个平面相交，如果所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直． 2．平面和平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的 ，那么这两个平面互相垂直． 直二面角 一条垂线 三、 线面垂直与面面垂直性质定理 四、垂直关系的转化 线线垂直 面面垂直 线面垂直 判定 判定 性质 性质 （习题1－6 B组2）如图，P为△ABC所在直线外一点。PA⊥PC,PA ⊥PB,PB ⊥PC PH ⊥平面ABC于H。 求证（1）H是△ABC的垂心。（2）△ABC为锐角三角形。 习题演练 分析：1 要证H是垂心，先证AH ⊥BC。于是连接AH交BC于D 2 由AP ⊥面PBC得BC⊥PA。 3 由PH ⊥BC得BC ⊥平面PAH。 4 对于第二问，由第一问知AD ⊥BC于D，所以要证三 角形为锐角三角形，须证H在三角形内。 证明：(1)连接AH并延长交BC于D。 ∴ ∵ PA⊥PB,PA ⊥PC,PA∩PC=P; ∴ PA ⊥平面PBC. 又∵BC 面PBC ∴ PA ⊥BC ∵PH ⊥平面ABC，BC ∴PH ⊥BC ∴BC ⊥平面PAH,而AH ∴BC ⊥AH. 同理，BH ⊥AC;CH ⊥AB. ∴H为△ABC的垂心。 平面ABC 平面PAH， (2) 由已知，∠BPC=90°;连接PD，由第一问知PD ⊥BC 则D在线段BC上，又因为AD ⊥BC,从而∠ABC, ∠ACB都是锐角。 同理可证， ∠BAC也为锐角。故△ABC为锐角三角形。 (2)方法2：由图可知P在以AC为直径的圆上，AB＞PA,BC＞PC ∴B在以AC为直径的圆外。因此∠ABC为锐角。同理其余角也是锐角。 问题 1上题图形中有几个直角三角形？ 引申与创新 问题 2 一个四面体中可以有四个直角三角形吗？ C B A P A C B C P B C P A 设计1 引申与创新 P A B 问题 2 一个四面体中可以有四个直角三角形吗？ 设计2 如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，PA⊥平面ABC， 引申与创新 B A C 设计3 问题 2 一个四面体中可以有四个直角三角形吗？ P P A C B A A C B C P B 引申与创新 探究 B C P A 对设计1就垂直关系进行探究，即PA⊥平面ABC，BC ⊥AC于C 探究1 BC⊥平面PAC吗？ C B P A 探究 B C P A 对设计1就垂直关系进行探究，即PA⊥平面ABC，BC ⊥AC于C 探究2 BC⊥PC吗？ 探究3 △PBC为直角三角形吗？ C B P A 探究 B C P A 对设计1就垂直关系进行探究，即PA⊥平面ABC，BC ⊥AC于C 探究4 图中有几个直角三角形？ C B A P A C B C P P A B 探究 B C P A 对设计1就垂直关系进行探究，即PA⊥平面ABC，BC ⊥AC于C 探究5 面PBC⊥面PAC吗？ 探究6 若AM⊥PC ，那么AM⊥平面PBC吗？ 探究 对设计1就垂直关系进行探究，即PA⊥平面ABC，BC ⊥AC于C 探究7若AM⊥PC于M，AN⊥PB于N，连MN，则:（1）PB ⊥平面AMN吗？（2）PB ⊥MN吗？ 探究 对设计1就垂直关系进行探究，即PA⊥平面ABC，BC ⊥AC于C 探究8 若AM⊥PC于M，AN⊥PB于N，连MN，则∠ANM是二面角A-PB-C的一个平面角吗？ 探究 B C P A 对设计1就垂直关系进行探究，即PA⊥平面ABC，BC ⊥AC于C 探究9 图中互相垂直的平面有几对？ 探究 对设计1就垂直关系进行探究，即PA⊥平面ABC，BC ⊥AC于C 探究10 若CQ ⊥ PB于Q，CS ⊥AB于S，连接QS。则 PB ⊥平面PQS吗？ 开拓思维 拓展一 本节探究仅对设计1中垂直关系进行了探讨；还可以就点面距离，线面角，面面角等进行探一究。本题还可以以圆柱，棱柱等载体给出。 拓展二 对于设计2，还可就设计1所探究的10个方面进行同样探究； 拓展三 对于设计1，二面角A-PB-C的平面角如何做？ 拓展四 ... ...
