第13讲 双曲线方程及几何性质 一、知识导图 二、知识导入 1、情境引入 类比椭圆的标准方程及几何性质的探究方式 上节回顾：平面上到两个定点的距离之和为一个常数（大于两定点间的距离）的点的轨迹是椭圆. 思考：那么平面上到两个定点的距离之差为一个常数的点的轨迹是什么呢？ 设计意图：类比前面章节“椭圆的标准方程与几何意义”的教学过程，引入本节“双曲线的标准方程与几何意义”，有利于降低学习难度，使学生迅速理解双曲线的定义与元素。强调两节知识的联系与区别，引导学生探究本节过程中对比两节. 步步深化 类比椭圆的标准方程，写出双曲线的标准方程，并比较a、b、c的关系： 设计意图：利用已知结论得到双曲线的标准方程及简单几何性质，更利于学生对新知的理解和记忆. 三、知识讲解 知识点1 ：双曲线的定义 平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线. 即. 知识点2 双曲线的标准方程与几何性质 标准方程 图 形 性 质 范 围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴对称中心：原点 顶点 ， ， 渐近线 离心率 ，，其中 准线 实虚轴 线段叫做双曲线的实轴，它的长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a、b、c的关系 注意： (1)区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2. (2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈(0,1)． (3)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是y＝±x，－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是y＝±x. 求双曲线离心率、渐近线问题的一般方法： (1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2＝c2－a2和e＝转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围． (2)求渐近线时，利用c2＝a2＋b2转化为关于a，b的方程或不等式．双曲线渐近线的斜率与离心率的关系k＝±＝±＝±＝±. 知识点3 等轴双曲线 1.a=b即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线，其中，渐近线 . 2.共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.它们互为共轭.互为共轭双曲线的方程为:和. 性质：①它们有相同的渐近线.②它们的四个焦点共圆.③离心率满足. 四、例题解析 例1：已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于_____. 【答案】 6 【解析】 设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c－a＝－1，故|PF2|＝6. 例2：双曲线－y2＝1的焦点坐标是( ) A.(－，0)，(，0) B.(－2，0)，(2，0) C.(0，－)，(0，) D.(0，－2)，(0，2) 【答案】 B 【解析】 由题可知双曲线的焦点在x轴上，又c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0). 例3：已知双曲线的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】双曲线的渐近线方程为y＝±x，因为一条渐近线与直线y＝2x＋10平行，所以＝2.又因为双曲线的一个焦点在直线y＝2x＋10上，所以－2c＋10＝0，所以c＝5. 故由c2＝a2＋b2，得25＝a2＋4a2，则a2＝5，b2＝20，从而双曲线方程为. 例4：已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( ) A. B．3 C.m D．3m 【答案】 A 【解析】由题意知，双曲线的标准方程为－＝1，其中a2＝3m，b2＝3，故c＝＝.不妨设F为双曲线的右焦点，故F(，0)．其中一条渐近线的方程为y＝x，即x－y＝0，由点到直线的距离公式可得d＝＝，故选A. 例5：已知定点F1(－2,0)，F2(2,0) ... ...
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