中小学教育资源及组卷应用平台 3.2.1双曲线及其标准方程 要点一 双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 【方法技巧】 要注意定义中的限制条件：“小于|F1F2|”“绝对值”“非零”． (1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)．若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在． (2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支． (3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线． 要点二 双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0)F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝ 【方法技巧】 (1)标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件． (2)焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，即若x2的系数为正，则焦点在x轴上；若y2的系数为正，则焦点在y轴上． (3)在双曲线的标准方程中，因为a，b，c三个量满足c2＝a2＋b2，所以长度分别为a，b，c的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为c的线段是斜边，如图所示． 【答疑解惑】 教材P121探究 设M(x，y)，则kAM＝(x≠－5)，kBM＝(x≠5)． 由题意，知kAM·kBM＝，即·＝(x≠±5)． 化简、整理，得－＝1(x≠±5) 因此，点M的轨迹是焦点在x轴上的双曲线(除A，B两点外)．与3.1节例3比较可以发现，一个动点M与两个定点F1(－a,0)，F2(a,0)(a>0)连线的斜率之积为一个常数k，则当k＝时，轨迹为双曲线(除F1，F2两点外)，方程为－＝1(x≠±a)； 当k＝－(a2≠b2)时，轨迹为椭圆(除F1，F2两点外)，方程为＋＝1(x≠±a)； 当k＝－1时，轨迹为圆(除F1，F2两点外)，方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)． 【基础自测】 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( ) (2)双曲线标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件．( ) (3)双曲线的焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型．( ) (4)点P到两定点F1(－2,0)，F2(2,0)的距离之差为6，则点P的轨迹为双曲线的一支．( ) 【答案】（1）×（2）√（3）√（4）× 2．动点P到点M(1,0)的距离与点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是( ) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 【答案】D 【解析】由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线NP.故选D. 3．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为( ) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1或－＝1 D.－＝0或－＝0 【答案】C 【解析】b2＝c2－a2＝72－52＝24，故选C. 4．已知双曲线－＝1的两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上的点P到点F1的距离为12，则点P到点F2的距离为_____． 【答案】22或2 【解析】设F1为左焦点，F2为右焦点，当点P在双曲线左支上时，|PF2|－|PF1|＝10，则|PF2|＝22；当点P在双曲线右支上时，|PF1|－|PF2|＝10，则|PF2|＝2. 题型一 求双曲线的标准方程 【例1】根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)a＝4，经过点A(1，－)； (2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)； (3)过点P(3，)，Q(－，5)且焦点在坐标轴上． 【解析】(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把 ... ...
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