教材要点 学科素养 学考 高考 考法指津 高考考向 1.三角函数在实际问题中的简单应用 数学建模 水平1 水平2 应用三角函数模型解决问题，首先要把实际问题抽象为数学问题，通过分析它的变化趋势，确定它的周期，从而建立适当的三角函数模型。 【考查内容】正余弦函数以及正切函数的图像与性质。 【考查题型】选择题、填空题 【分值情况】5--12分 2.利用基本函数的图像研究其他函数 直观想象 水平1 水平 2 高中数学，同步讲义 必修四 第一章 三角函数 第六讲 三角函数模型的简单应用 1．三角函数模型的简单应用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测等方面发挥着十分重要的作用． 教材中的例3、例4对太阳光照以及潮汐问题的研究为我们展示了怎样运用模型化的思想建立三角函数模型的方法和过程． 2．三角函数模型应用的步骤 三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决． 步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题． 这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式． 3．三角函数模型的拟合应用 我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题． 4. 函数解析式与图象的对应问题 （1）已知函数解析式判断函数图象，可结合函数的有关性质排除干扰项即可得到正确的选项. （2）函数图象与解析式的对应问题是高考考查的热点，解决此类问题的一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据. 题型一 三角函数模型在物理中的应用 例1 弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间t(s)内离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)由下面的函数关系式表示：. （1）求小球开始振动的位置； （2）求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置； （3）经过多长时间小球往返振动一次 （4）每秒内小球能往返振动多少次 解析： （1）令t=0，得， 所以开始振动的位置为(0，). （2）由题意知，当h=3时，， 即最高点为; 当h= 3时，t=， 即最低点为. （3）≈3.14， 即每经过约3.14 s小球往返振动一次. （4）， 即每秒内小球往返振动约0.318次. 变式训练1 单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为 s＝． （1）作出函数的图象． （2）当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？ （3）当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？ （4）单摆来回摆动一次需多长时间？ 解析： （1）利用“五点法”可作出其图象． （2）因为当t＝0时，s＝6sin＝3，所以此时离开平衡位置3 cm． （3）离开平衡位置6 cm． （4）因为T＝＝1，所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s． 题型二 三角函数模型在生活中的应用 例2 如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题： (1) 求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式； (2) 当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？ 解析： (1)由已知可设y＝40.5－40cos ωt，t≥0， 由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值， 所以6ω＝π，即ω＝， 所以y＝40.5－40cos t(t≥0)． (2)设转第1圈时，第t0分钟时距 ... ...
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