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课件网) x y 0 研究函数的基本性质不仅是解决实际问题的需要，也是数学自身发展的必然结果。那么，如果从函数图像的对称性出发能得到函数的什么性质呢？ 3.4函数的基本性质1 ———函数的奇偶性 知识探究： 思考1： 这两个函数图象有什么共同特征吗？ 思考2：对于这两个函数，f(-1)与f(1) ， f(-2)与f(2) ， f(-3)与f(3) 有什么关系？ f(x)=x2 f(x)=|x| 这两个函数都具有 的特性 f(-x)=f(x),(x∈R) 思考4：我们把具有上述特征的函数叫做偶函数，那么怎样定义偶函数？ 思考3：一般地，若函数y=f(x)的图像关于y轴对称，则f(-x)与f(x)有什么关系？反之成立吗？ f(-x)=f(x) 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． 思考5：等式f(-x)=f(x)用文字语言怎样表述？ 自变量相反时对应的函数值相等 思考6：函数f(x)=x2,x∈ [-1,2]是偶函数吗？ 偶函数的定义域有什么特征？ 偶函数的定义域关于原点对称 例1、判断下列函数是不是偶函数？ 思考1： 观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？ 思考2：对于这两个函数， f(-1)与f(1) ， f(-2)与f(2) ， f(-3)与f(3) 有什么关系？ 这两个函数都具有 的特性 f(-x)=-f(x),(x∈D) 思考4：我们把具有上述特征的函数叫做奇函数，那么怎样定义奇函数？ 思考3：一般地，若函数y=f(x)的图像关于坐标原点对称，则f(x)与f(-x)有什么关系？反之成立吗？ f(-x)=-f(x) 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意实数x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． 思考5：等式f(-x)=-f(x)用文字语言怎样表述？ 自变量相反时对应的函数值相反 思考6：函数f(x)=x,x∈ [-1,2]是奇函数吗？ 奇函数的定义域有什么特征？ 奇函数的定义域关于原点对称 注意： 1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； 3、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是：定义域关于原点对称（即对于定义域内的任意一个x，则－x也一定在定义域内）． 2、如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我 们就说函数f(x)具有奇偶性. 例2、判断下列函数的奇偶性： (1)解：定义域为R ∵ f(-x)=(-x)4=f(x) 即f(-x)=f(x) ∴f(x)偶函数 (2)解：定义域为R ∵ f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x) 即f(-x)=-f(x) ∴f(x)奇函数 (3)解：定义域为{x|x≠0} ∵ f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x) 即f(-x)=-f(x) ∴f(x)奇函数 O x y 判断或证明函数奇偶性的基本步骤： 小结 奇偶函数图象的特征 （1）、奇函数的图象关于原点对称. 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数. （2）、偶函数的图象关于y轴对称. 反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函数. 说明：奇偶函数图象的性质可用于： a、简化函数图象的画法. B、判断函数的奇偶性 小结 例3、已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象. x y 0 解：画法略 相等 小结 x y 0 相等 小结 本课小结 1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x, 如果都有f(－x)=-f(x) f(x)为奇函数 如果都有f(－x)=f(x) f(x)为偶函数 2、两个性质： 一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称 (1)、先求定义域，看是否关于原点对称； (2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立. 4、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即 若f(x)为奇函数，则有f(-x)=-f(x) 成立. 若f(x)为偶函数，则有f(-x)=f(x) 成立. 3、用定义判断函数奇偶性的步骤： 再 见 ... ...
