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课件网) 函数 函数 函数 函数 3.4 函数的奇偶性 x y O 1 2 2 1 1 2 3 1 2 3 f (x) = x3 y x Ｏ 1 -1 1 -1 f (x) = x2 中心对称图形 1 1 y x f (x) = x3 O -1 -1 轴对称图形 y x O f (x) = x2 1 -1 1 -1 y 1 -1 1 -1 x O f (x) = x3 则 f (2) = ；f (-2) = ； f (1) = ；f (-1) = ； 求值并观察总结规律 则 f (2) = ；f (-2) = ； f (1) = ；f (-1) = ； y 1 -1 1 -1 x O f (x) = 2x 1. 已知 f (x) = 2x， 2. 已知 f (x) = x3， =- f (x) f (-x) = 4 -4 2 -2 -2x =- f (x) f (-x) = -x3 8 -8 1 -1 图象都是以坐标原点为对称中心的中心对称图形 如果对于函数 y = f (x)的定义域 A内的任意一个 x, 都有 f (-x) = -f (x)，则这个函数叫做奇函数. 奇函数的图象特征 以坐标原点为对称中心的中心对称图形. y 1 -1 1 -1 x O y=f(x) (-x，f(-x)) (x，f(x)) f (-x) = -f (x) 奇函数的定义 奇函数 图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形 奇函数的定义域对应的区间关于坐标原点对称． 改变奇函数的定义域，它还是奇函数吗？ y 1 -1 1 -1 x O y = x3 (x≠0) y 1 -1 1 -1 x O y = x3 (x≠1) y 1 -1 1 -1 x O y = x3 (x≥0) y 1 -1 1 -1 x O y=x3 (－1≤x≤1) 是 否 否 是 奇函数的定义域对应的区间关于坐标原点对称． 判断下列函数是奇函数吗？ （1） f (x) = x3，x [－1，3]； （2） f (x) = x，x (－1，1]． 否 否 解: （1）函数 f（x）= 的定义域为A = { x | x ≠ 0} ， 所以当 x A 时，-x A． 因为 f（-x）= = - = - f（x）， 所以函数 f（x）= 是奇函数． x 1 x 1 x 1 - x 1 例1 判断下列函数是不是奇函数： （1）f（x）= ； （2）f（x）= -x3 ； （3）f（x）= x +1 ； （4）f（x）= x + x3 + x5 + x7． x 1 解: （2）函数 f（x）= -x3 的定义域为R， 所以当 x R时，-x R． 因为 f（-x）= -(-x)3 = x3 = - f（x）， 所以函数 f（x）= -x3 是奇函数． 例1 判断下列函数是不是奇函数： （1）f（x）= ； （2）f（x）= -x3 ； （3）f（x）= x +1 ； （4）f（x）= x + x3 + x5 + x7． x 1 解: （3）函数 f（x）= x+1 的定义域为R， 所以当 x R时，-x R．因为f（-x）= -x +1 - f（x）= -（ x + 1 ） = - x - 1 ≠ f（ - x）， 所以函数 f（x）= x+1 不是奇函数． 例1 判断下列函数是不是奇函数： （1）f（x）= ； （2）f（x）= -x3 ； （3）f（x）= x +1 ； （4）f（x）= x + x3 + x5 + x7． x 1 解: （4）函数 f（x）= x + x3 + x5 + x7的定义域为R， 所以 x R 时， 有- x R ． f（-x）= - x + (- x)3 + (- x)5 + (- x)7 = - (x + x3 + x5 + x7) = - f（x） ． 所以函数 f（x）= x + x3 + x5 + x7是奇函数． 例1 判断下列函数是不是奇函数： （1）f（x）= ； （2）f（x）= -x3 ； （3）f（x）= x +1 ； （4）f（x）= x + x3 + x5 + x7． x 1 不是 是 是 不是 偶函数的定义 如果对于函数 y = f (x)的定义域A内的任意一个 x, 都有 f (-x) = f (x)，则这个函数叫做偶函数. 偶函数的图象特征 以y 轴为对称轴的轴对称图形． 定义域对应的区间关于坐标原点对称． 偶函数 图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形 y 1 -1 1 -1 x O y=f(x) (-x，f(-x)) (x，f(x)) 解： （1）函数 f（x）= x2 + x4 的定义域为R， 所以当 x R时，-x R． 因为 f（-x）= (-x)2 +(- x)4 = x2 + x4 = f（x）， 所以函数 f（x）= x2 + x4 是偶函数． 例2 判断下列函数是不是偶函数： （1）f（x）= x2 + x4 ； （2）f（x）= x2 + 1； （3）f（x）= x2 + x3 ； （4）f（x）= x2 + 1 ，x [-1， 3]． 解： （2）函数 f（x）= x2 + 1的定义域为R， 所以当 x R时，-x R． 因为 f（-x）= (-x)2 +1 = x2 + 1 = f（x） ， 所 ... ...
