专题05 实系数一元二次方程在复数范围内的解集 [新教材的新增内容] 背景分析： 在人教A第二册第7章复数第79页例6，设置了两道习题，在复数范围解二次方程.并总结出求根公式.如下： 在复数范围内解下列方程： （1）； （2），其中，且. 解：（1）因为，所以方程的根为. （2）将方程的二次项系数化为1，得. 配方，得， 即. 由，知. 类似（1），可得. 所以原方程的根为. 在复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式为： （1）当时，； （2）当时，. [新增内容的考查分析] 1.已知二次方程的一个复数根求解其他参数 【考法示例1】 1. 已知复数是方程的一个根，则实数，的值分别是（ ） A. 12，26 B. 24，26 C. 12，0 D. 6，8 【答案】A 【解析】 【分析】复数是方程的根，代入方程，整理后利用复数的相等即可求出p,q的值. 【详解】因为是方程的一个根，所以， 即，所以，解得，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数方程及复数相等的概念，属于中档题. 【考法示例2】 2. 已知复数是关于的方程的一个根，则 （ ） A. 25 B. 5 C. D. 41 【答案】C 【解析】 【分析】将代入原方程，然后根据复数相等求解出的值，则可求. 【详解】因为复数是关于的方程的一个根， 所以，所以， 所以，所以， 则， 故选：C. 2.二次方程的根与系数之间的关系 考法示例1】 3. 若方程x2﹣2x+3＝0的两个根为α和β，则|α|+|β|＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】因为，设，则，根据根与系数关系及模求解. 【详解】因为，此时方程两根为共轭虚根， 设，则， ， . 故答案为：. 3.求解复系数下二次方程的根 【考法示例1】 4. 设z1是方程x2－6x＋25＝0的一个根． (1)求z1； (2)设z2＝a＋i(其中i为虚数单位，a∈R)，若z2的共轭复数z2满足|z13·z2|＝125，求z22. 【答案】（1）；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）直接利用实系数一元二次方程的求根公式求解； （2）由z2=a+i得其共轭复数，把z1及 代入|z13·z2|＝125，整理后求解a的值，代入z2=a+i后求解z22． 【详解】(1)因为Δ＝62－4×25＝－64，所以z1＝3－4i或z1＝3＋4i. (2)由|z·(a－i)|＝125，得125·＝125，所以a＝±2. 当a＝－2时，z＝(－2＋i)2＝3－4i；当a＝2时，z＝(2＋i)2＝3＋4i. 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，训练了实系数一元二次方程虚根的求法，考查了复数模的求法，考查了学生的计算能力，是基础题． 【考法示例2】 5. 已知复数满足. （1）求证：； （2）若的虚部为正数，求，，，，根据的规律，求出的值（不需要证明）. 【答案】（1）证明见解析；（2）；，，，. 【解析】 【分析】（1）由可得，从而可得； （2）由可得，而，，，由此可得以3为周期进行循环，从而可求出求出的值 【详解】（1）证明：因为， 所以， 所以，即； （2）由可得， 的虚部为正数，； ，， . 以3为周期进行循环. . [新增内容的针对训练] 6. 下列关于复数的命题中（其中 为虚数单位），说法正确的是（ ） A. 若关于x的方程有实根，则 B. 复数z满足，则z在复平面对应的点位于第二象限 C. ，（为虚数单位，），若，则 D. 是关于x的方程的一个根，其中p q为实数，则 【答案】D 【解析】 【分析】直角利用复数的运算，复数的几何意义，一元二次方程根与系数的关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，设方程的实数根为，代入方程可得， 所以，解得，所以A不正确； 对于B中，复数，可得， 则复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，所以B不正确； 对于C中，复数，， 当时，可知当时 ，因为虚数不能比较大小，所以C不正确； 对于D中，是关于x的方程的一个根， 根据复数方程的性质，可得也是方程的根， 可得，解得，所以D正确. 故选：D. 7. 已知，为实数，是关于的方程的一个根，其中是虚数单位，则_ ... ...
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