高中数学（2019）人教A版选择性必修第二册 5.3.3　利用导数解决与函数有关的问题(课件共54张PPT+作业)

(课件网) 第五章 一元函数的导数及其应用 5.3　导数在研究函数中的应用 5.3.3　利用导数解决与函数有关的问题 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能 素养目标·定方向 素养目标·定方向 课程目标 学法指导 1．借助教材实例进一步掌握导数在研究函数的单调性、极值、图象、零点等问题中的应用．(数学运算) 2．能利用导数解决简单的实际问题．(数学运算) 3．能利用导数研究函数的性质、解决简单的实际问题．(数学运算、逻辑推理) 1．在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的取值范围． 2．实际优化问题中，若只有一个极值点，则极值就是最值． 3．解决优化问题的基本思路： 关键能力·攻重难 题型探究 题型一 三次函数的零点问题 典例 1 【对点训练】 设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数．下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是_____.(写出所有正确条件的编号) ①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2． [解析]　方法一：令f(x)＝x3＋ax＋b，则f ′(x)＝3x2＋a. 对于①，由a＝b＝－3，得f(x)＝x3－3x－3，f ′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)极大值＝f(－1)＝－1<0，f(x)极小值＝f(1)＝－5<0，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个实根； ①③④⑤　 对于②，由a＝－3，b＝2，得f(x)＝x3－3x＋2，f ′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)极大值＝f(－1)＝4>0，f(x)极小值＝f(1)＝0，函数f(x)的图象与x轴有两个交点，故x3＋ax＋b＝0有两个实根； 对于③，由a＝－3，b>2，得f(x)＝x3－3x＋b，f ′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)极大值＝f(－1)＝2＋b>0，f(x)极小值＝f(1)＝b－2>0，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个实根； 对于④，由a＝0，b＝2，得f(x)＝x3＋2，f ′(x)＝3x2≥0，f(x)在R上单调递增，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个实根； 对于⑤，由a＝1，b＝2，得f(x)＝x3＋x＋2，f ′(x)＝3x2＋1>0，f(x)在R上单调递增，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个实根． 方法二：根据题意，直线y＝－b和函数f(x)＝ x3＋ax的图象有且仅有一个公共点．先考虑a＝ －3的情形，此时f ′(x)＝3x2－3，于是f(x)在x＝ －1处取得极大值2，在x＝1处取得极小值－2， 如图所示． 于是当b<－2或b>2时符合题意，故①③符合题意． 再考虑a≥0的情形，此时f ′(x)＝3x2＋a≥0，f(x)单调递增，且值域为R，必然符合题意，故④⑤符合题意． 题型二 利用导数证明不等式 典例 2 [规律方法]　构造函数法证明不等式 一般地，待证不等式的两边都含有同一个变量，可通过构造函数，转化为函数的最值问题来证明，其一般步骤如下： 1．移项，使不等式的一边为0，将另一边构造为“左减右”或“右减左”的函数． 2．利用导函数研究所构造的函数的单调性． 3．借助构造函数的单调性可证结论成立． 题型三 恒成立问题 典例 3 C　 A　 [规律方法]　分离参数法 恒成立的问题求参数范围，可根据题意化简，参变分离，转化为最值问题． 1．在某区间上，f(x)≥m恒成立，则函数f(x)的最小值大于等于m. 2．在某区间上，f(x)≤m恒成立，则函数f(x)的最大值小于等于m. 题型四 实际生活中的最值问题 典例 4 [分析]　代入数据求k的值，建造费用加上20年能源消耗综合得出总费用f(x)，利用导数求最值． [规律方法]　解决优化问题时应注意的问题 (1)列函数解析式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域． (2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数在给定区间内只有一个极值点，则根据实际意 ... ...