第四章 4.3 4.3.2 第1课时 请同学们认真完成练案[9] A 组·素养自测 一、选择题 1．(2021·北京市第十三中学高二检测)设Sn为等比数列{an}的前n项和，S3＝3a3，则公比q＝( C ) A．－ B． C．1或－ D．－1或 [解析] 设等比数列{an}的公比为q，由S3＝3a3，得a1＋a2＋a3＝3a3 a1＋a2＝2a3，所以a1＋a1q＝2a1q2 2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－.故选C． 2．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5等于( C ) A．33 B．72 C．84 D．189 [解析] 设等比数列公比为q. ∵a1＋a2＋a3＝21且a1＝3， ∴a1(1＋q＋q2)＝21， ∴1＋q＋q2＝7，∴q2＋q－6＝0， ∴q＝2或q＝－3(舍)， 又∵a3＋a4＋a5＝a1q2(1＋q＋q2)， ∴a3＋a4＋a5＝3×4×7＝84． 3．已知{an}是由正数组成的等比数列，Sn表示{an}的前n项和．若a1＝3，a2a4＝144，则S10的值是( D ) A．511 B．1 023 C．1 533 D．3 069 [解析] 由题意知a2a4＝144，即a1q·a1q3＝144， 所以aq4＝144， ∴q4＝16，∴q＝2，∴S10＝＝3(210－1)＝3 069． 4．等比数列{an}的公比q<0，已知a2＝1，an＋2＝an＋1＋2an，则{an}的前2 020项和等于( D ) A．2 020 B．－1 C．1 D．0 [解析] 由an＋2＝an＋1＋2an，得qn＋1＝qn＋2qn－1，即q2－q－2＝0．又q<0，解得q＝－1．又a2＝1，∴a1＝－1． ∴S2 020＝＝0． 5．某人计划2022年出国旅游，从2015年起每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期，到2022年5月10日将所有存款和利息全部取回，则可取回的钱数(元)为( D ) A．a(1＋p)7 B．a(1＋p)8 C．[(1＋p)7－(1＋p)] D．[(1＋p)8－(1＋p)] [解析] 设所有存款和利息的总和为S元，由题意知第一年存入的a元到2022年本息和为a(1＋p)7元，以此类推，2021年存入的a元到2022年本息和为a(1＋p)元，所以S＝a(1＋p)7＋a(1＋p)6＋a(1＋p)5＋…＋a(1＋p) ＝a[(1＋p)7＋(1＋p)6＋(1＋p)5＋…＋(1＋p)] ＝a·＝[(1＋p)8－(1＋p)]． 故选D． 6．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝( C ) A．16(1－4－n) B．16(1－2－n) C．(1－4－n) D．(1－2－n) [解析] ∵＝q3＝，∴q＝. ∴an·an＋1＝4·()n－1·4·()n ＝25－2n， 故a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋anan＋1 ＝23＋21＋2－1＋2－3＋…＋25－2n ＝＝(1－4－n)． 二、填空题 7．(2020·河南省实验中学高二联考)设Sn为等比数列{an}的前n项和，且Sn＝3n＋1－A，则A＝__3__. [解析] ∵Sn为等比数列{an}的前n项和，且Sn＝3n＋1－A，∴a1＝S1＝32－A＝9－A，a2＝S2－S1＝(33－A)－(9－A)＝18，a3＝S3－S2＝(34－A)－(33－A)＝54． ∵a1，a2，a3成等比数列，∴a＝a1a3， ∴182＝(9－A)×54，解得A＝3． 故答案为3． 8．(2021·山东青岛高三模拟)设Sn为公比q≠1的等比数列{an}的前n项和，且3a1,2a2，a3成等差数列，则q＝__3__，＝__10__. [解析] 设等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1．因为3a1,2a2，a3成等差数列，所以2×2a2＝3a1＋a3，即4a1q＝3a1＋a1q2．又因为等比数列中a1≠0，则4q＝3＋q2，解得q＝1或q＝3．又因为q≠1，所以q＝3．所以＝＝＝1＋q2＝1＋32＝10． 三、解答题 9．在等比数列{an}中， (1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n； (2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5； (3)若q＝2，S4＝1，求S8． [解析] (1)解法一：由Sn＝，an＝a1qn－1以及已知条件得， ∴a1·2n＝192，∴2n＝. ∴189＝a1(2n－1)＝a1(－1)，∴a1＝3． 又∵2n－1＝＝32，∴n＝6． 解法二：由公式Sn＝及条件得 189＝，解得a1＝3，又由an＝a1·qn－1， 得96＝3·2n－1，解得n＝6． (2)设公比为q，由通项公式及已知条件得 ， ... ...
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