2021-2022学年高中数学新人教A版必修2 第四章圆与方程4.3空间直角坐标系 学案

4.3　空间直角坐标系 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置．(重点)2．掌握空间两点间的距离公式．(重点、难点) 通过学习空间直角坐标系，提升直观想象、数学运算的数学学科素养． 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系的特征 ①三条轴两两相交且互相垂直； ②有相同的单位长度． (2)相关概念 坐标原点 O 坐标轴 x轴、y轴、z轴 坐标平面 xOy平面、yOz平面、xOz平面 (3)右手直角坐标系要求 右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向． 2. 空间一点的坐标 其中x→横坐标，y→纵坐标，z→竖坐标． 思考：给定的空间直角坐标系下，空间任意一点是否与有序实数组(x，y，z)之间存在唯一的对应关系？ [提示]　是．给定空间直角坐标系下，空间给定一点其坐标是唯一的有序实数组(x，y，z)；反之，给定一个有序实数组(x，y，z)，空间也有唯一的点与之对应． 3．空间两点间的距离公式 (1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0, 0, 0)的距离 |OP|＝． (2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离 |P1P2|＝． 思考：空间两点间的距离公式对在坐标平面内的点适用吗？ [提示]　适用．空间两点间的距离公式适用于空间任意两点，对同在某一坐标平面内的两点也适用． 1．下列点在x轴上的是(　　) A. (0.1，0.2，0.3)　 B. (0，0，0.001) C. (5，0，0) D. (0，0.01，0) C　[x轴上的点的纵坐标和竖坐标为0.] 2．点P(1，－2，5)到xOy平面的距离为(　　) A.1 B．2 C.－2 D．5 D　[点P(1，－2，5)在xOy平面上的射影是P′(1，－2，0)，则点P(1，－2，5)到xOy平面的距离为|PP′|＝5.] 3．已知点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且|AB|＝2，则实数x的值是(　　) A.－3或4 B．6或2 C.3或－4 D．6或－2 D　[由题意得＝2，解得x＝－2或x＝6.] 4．在空间直角坐标系中，点(2，－1，3)关于y轴的对称点是_____，关于平面yOz的对称点是_____． (－2，－1，－3)　(－2，－1，3)　[根据空间直角坐标系的特征，点(2，－1，3)关于y轴的对称点为(－2，－1，－3)，关于yOz平面的对称点为(－2，－1，3).] 求空间中点的坐标 【例1】　如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，M在线段BC1上，且|BM|＝2|MC1|，N是线段D1M的中点，求点M，N的坐标． [解]　如图，过点M作MM1⊥BC于点M1，连接DM1，取DM1的中点N1，连接NN1. 由|BM|＝2|MC1|，知|MM1|＝|CC1|＝， |M1C|＝|BC|＝. 因为M1M∥DD1，所以M1M与z轴平行，点M1与点M的横坐标、纵坐标相同，点M的竖坐标为，所以M. 由N1为DM1的中点，知N1. 因为N1N与z轴平行，且|N1N|＝＝， 所以N. 求某点P的坐标的方法 先找到点P在xOy平面上的射影M，过点M向x轴作垂线，确定垂足N.其中|ON|，|NM|，|MP|即为点P坐标的绝对值，再按O→N→M→P确定相应坐标的符号与坐标轴同向为正，反向为负，即可得到相应的点P的坐标 1．已知正四棱锥P ABCD的底面边长为5，侧棱长为13，建立的空间直角坐标系如图，写出各顶点的坐标． [解]　因为|PO|＝＝＝12， 所以各顶点的坐标分别为P(0，0，12)，A，B，C，D. 空间中点的对称问题 【例2】　在空间直角坐标系中，已知点P(－2，1，4). (1)求点P关于x轴对称的点的坐标； (2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标； (3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标． [解]　(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴，z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4). (2)由点P关于xOy平面对称后，它在x轴，y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(－2，1，－4). (3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点， 由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6， y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－ ... ...