第二章 5.1 A 组·素养自测 一、选择题 1．已知△ABC中，＝a，＝b，若a·b<0，则△ABC是( A ) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．任意三角形 [解析] 由a·b<0易知〈a，b〉为钝角． 2．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是( B ) A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c [解析] A中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，故A错；C中，若a2＝b2，则|a|＝|b|，C错；D中，若a·b＝a·c，则可能有a⊥b，a⊥c，但b≠c，故只有选项B正确，故选B． 3．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝( C ) A．2 B．4 C．6 D．12 [解析] ∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72， ∴a2－a·b－6b2＝－72. ∴|a|2－|a||b|cos 60°－6|b|2＝－72. ∴|a|2－2|a|－24＝0.又∵|a|≥0，∴|a|＝6. 4．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为( C ) A． B． C． D． [解析] 由题意，得a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0， 即a·b＝－2a2，所以cos 〈a，b〉＝＝＝－，所以〈a，b〉＝，故选C． 5．(多选)下列命题中正确的是( ACD ) A．对于任意向量a、b，有|a＋b|≤|a|＋|b| B．(a·b)2＝a2·b2 C．对于任意向量a·b，有|a·b|≤|a||b| D．若a、b共线，则a·b＝±|a||b| [解析] (a·b)2＝(|a||b|cos〈a，b〉)2＝a2·b2cos2〈a，b〉≤a2·b2，故B错误，A，C，D均正确． 6．P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的( D ) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 [解析] 由·＝·得·(－)＝0，即·＝0，∴PB⊥CA． 同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心． 二、填空题 7．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为 . [解析] 由a·b＝0得(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0.整理，得k－2＋(1－2k)cos＝0，解得k＝. 8．(2020·全国Ⅰ卷理)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝ . [解析] 因为a，b为单位向量，所以|a|＝|b|＝1， 所以|a＋b|＝＝＝＝1，解得2a·b＝－1， 所以|a－b|＝＝＝. 9．已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则|2a－b|＝ 2 . [解析] 设向量b和a的夹角是α， 因为|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a， 所以(a－b)·a＝a2－a·b＝2－a·b ＝2－2cos α＝0，所以cos α＝， 所以|2a－b|2＝4a2＋b2－4a·b ＝8＋4－4××2×＝4，故|2a－b|＝2. 三、解答题 10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61． (1)求a与b的夹角θ； (2)求|a＋b|. [解析] (1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，得4|a|2－4a·b－3|b|2＝61．将|a|＝4，|b|＝3代入上式求得a·b＝－6，所以cos θ＝＝＝－.又θ∈[0，π]，所以θ＝. (2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝. B 组·素养提升 一、选择题 1．定义：|a×b|＝|a|·|b|·sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于( B ) A．－8 B．8 C．－8或8 D．6 [解析] 由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，得cos θ＝－，sin θ＝，∴|a×b|＝|a|·|b|·sin θ＝2×5×＝8. 2．(2020·全国Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是( A ) A．(－2,6) B．(－6,2) C．(－2,4) D．(－4,6) [解析] 如图， 的模为2，根据正六边形的特征， 可以得到在方向上的投影的取值范围是(－1,3)，结合向量数量积的定义式， 可知·等于的模与在方向上的投影的乘积， 所以·的取值范围是(－2,6)， 故选A． 3．已知△ABC中，若 2＝·＋·＋·，则△ABC是( C ) A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 [解析] 解法1：由 2－·＝· ... ...
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