极坐标与参数方程 一、知识梳理 1、极坐标系 1）定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。 2）极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)（极点除外）的全部坐标为(,＋)或（，＋），(Z)．极点的极径为0，而极角任意取．若对、的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定>0，0≤＜或<0，＜≤等． 极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的． 3）直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ 4）圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ 5、极坐标与直角坐标互化公式： 二、参数方程 曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即 并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下： 1、过定点（x0，y0），倾斜角为的直线： 其中参数t是以定点P（x0，y0）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离． 根据t的几何意义，有以下结论． ．设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则＝＝． ．线段AB的中点所对应的参数值等于． 2、中心在（x0，y0），半径等于r的圆： （为参数） 3、中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆： （为参数） （或 ） 4、中心在点（x0,y0）焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程 二、经典例题 题型一：极坐标与直角坐标的互化 1）直线方程： 例1、写出直线，，和的直角坐标方程； 写出直线的极坐标方程。 圆的方程 例2、写出，，的直角坐标方程。 写出，的极坐标方程。 题型二：参数方程与普通方程的互化 1）直线方程 例3、写出直线为参数)，和的普通方程。 写出经过点,倾斜角的参数方程； 圆的方程 例4、写出和为参数)的普通方程。 写出和的参数方程 3）椭圆方程 例5、写出和的普通方程 写出和的参数方程。 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．求C和l的直角坐标方程； 题型三：交点问题 在极坐标系下，已知圆和直线。 (1)求圆和直线的直角坐标方程；（2）当时，求直线于圆公共点的极坐标。 例6、在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）（Ⅰ）将的方程化为普通方程；（Ⅱ）以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设曲线的极坐标方程是， 求曲线与交点的极坐标. 例7、在直角坐标系中,以O为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为,曲线的参数方程为,(为参数,). (Ⅰ)求C1的直角坐标方程; (Ⅱ)当C1与C2有两个公共点时,求实数的取值范围. 题型四：轨迹问题 例7、在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos (θ－)＝1(0≤θ＜2π)，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点． (1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐 ... ...
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