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课件网) 第七章 随机变量及其分布列 7.5 正态分布 必备知识 探新知 关键能力 攻重难 课堂检测 固双基 素养目标 定方向 素养作业 提技能 素养目标 定方向 课程标准 学法解读 1．通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量．通过具体实例、借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征． 2．了解正态分布的均值、标准差、方差及其含义． 1．了解正态分布与标准正态分布的概念． 2．了解概率密度函数，理解正态曲线的性质． 3．会利用正态曲线的性质解决简单的求概率或面积问题． 4．会求正态分布在给定区间的概率，能利用正态分布知识解决实际问题． 必备知识 探新知 知识点1 (2)正态密度曲线：正态密度函数的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． (3)正态分布：①定义：若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布； ②记作：X～N(μ，σ2)； ③特例：当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 思考1：若X～N(μ，σ2)，怎样表示下图中阴影A，B的面积？ 提示：阴影A的面积P(X≤x)；阴影B的面积P(a≤X≤b)． 知识点2 思考2：μ，σ取值不同对正态曲线有何影响？ 提示：当参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移；当μ取定值时，当σ 较小时，峰值高，曲线“瘦小”，表示随机变量x的分布比较集中，当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量x分布比较分散． X～N(μ，σ2)在区间[μ－kσ，μ＋kσ](k∈N*)上的概率 (1)概率：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3． (2)3σ原则：通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值． 知识点3 关键能力 攻重难 题型探究 题型一 利用正态分布的对称性求概率 设X～N(10,1)． (1)求证：P(1＜X＜2)＝P(18＜X＜19)； (2)若P(X≤2)＝a，求P(10＜X＜18)． [解析] (1)证明：∵X～N(10,1)， ∴正态曲线φμ，σ(x)关于直线x＝10对称，而区间(1,2)和(18,19)关于直线x＝10对称， 即P(1＜X＜2)＝P(18＜X＜19)． 典例 1 [规律方法] 正态总体在某个区间内取值概率的求解策略 (1)充分利用正态曲线对称性和曲线与x轴之间面积为1． (2)熟记P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值． 【对点训练】 (1)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2＜ξ＜2)＝ ( ) A．0.477 B．0.625 C．0.954 D．0.977 (2)(2021·临沂高二检测)设随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，若P(ξ＞c)＝a，则P(ξ＞4－c)等于 ( ) A．a B．1－a C．2a D．1－2a C B [解析] (1)P(－2＜ξ＜2)＝1－2P(ξ＞2)＝1－2×0.023＝0.954． (2)对称轴x＝2， ∴P(ξ＞4－c)＝1－P(ξ＞c)＝1－a． 题型二 实际问题中的正态分布 角度1 求给定区间的概率 数学考试试卷满分是150分，设在一次考试中，某班学生的分数X近似服从正态分布，且均值为110，标准差为20．求这个班在这次数学考试中分数在90分以上的概率． 典例 2 [解析] 由题意可知，分数X～N(110,202)，μ＝110，σ＝20， P(X≥90)＝P(X≥110－20)＝P(X≥μ－σ)， 因为P(X≤μ－σ)＋P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＋P(X≥μ＋σ) ＝2P(X≤μ－σ)＋0.683＝1， 所以P(X≤μ－σ)＝0.158 5， 所以P(X≥90)＝1－P(X≤μ－σ)＝1－0.158 5＝0.841 5． 角度2 实际应用问题 某厂生产的圆柱形零件的外径尺寸X～N(4,0.25)．质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7 cm，试问该厂生产的这批零件是否合格？ [分析] 判断某批产品是否合格 ... ...
