本章复习提升 易混易错练 易错点1 对空间向量的夹角的概念理解不清而致错 1.(★★)如图所示,在空间四边形OABC中,OA,OB,OC两两成60°角,且OA=OB=OC=2,E为OA的中点,F为BC的中点,则E,F间的距离为 . 2.(★★)已知a=(5,3,1),b=,若a与b的夹角为钝角,求实数t的取值范围. 易错点2 忽视向量共线的条件而致错 3.(2018安徽宿州二中高二月考,★★)已知a,b,c为空间中不共面的三个非零向量,=-2a+2b-2c,=3a-3b+3c,=a-b+c,则直线AD与BC( ) A.平行 B.相交 C.重合 D.平行或重合 4.(★★)已知A,B,C三点共线,则对空间任一点O,存在三个不为0的实数λ,m,n,使λ+m+n=0,那么λ+m+n的值为 . 易错点3 求投影时混淆投影与被投影向量而致错 5.(★★)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,向量在向量上的投影的长度是 . 6.(★★)设向量a=(1,-2,2),b=(-3,x,4),已知a在b上的投影为1,则x= . 易错点4 忽视线面及面面位置关系的类型而致错 7.(★★)已知线段AB两端点的坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),则线段AB与坐标平面( ) A.xOy平行 B.xOz平行 C.yOz平行 D.yOz相交 8.(★★)若平面α,β的法向量分别为a=,b=(-1,2,-6),则( ) A.α∥β B.α与β相交但不垂直 C.α⊥β D.α∥β或α与β重合 易错点5 忽视向量角与空间角的范围及关系而致错 9.(2019广东实验中学高三月考,★★)如图,矩形ABCD中,AD=2AB=4,E为BC的中点,现将△BAE与△DCE折起,使得平面BAE及平面DEC都与平面ADE垂直. (1)求证:BC∥平面ADE; (2)求二面角A-BE-C的余弦值. 10.(★★)如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,AB=6,BC=2,AC=2,D,E分别为线段AB,BC上的点,且AD=2DB,CE=2EB,PD⊥AC. (1)求证:PD⊥平面ABC; (2)若PA与平面ABC所成的角为,求平面PAC与平面PDE所成锐二面角的大小. 思想方法练 一、函数与方程思想在求空间角中的应用 1.(★★)如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=,PA=AD=2,AB=BC=1. (1)求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值; (2)点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成的角最小时,求线段BQ的长. 2.(★★★)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2. (1)证明:AP⊥BC; (2)在线段AP上是否存在点M,使得二面角A-MC-B为直二面角 若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由. 二、转化与化归思想在立体几何中的应用 3.(2019云南师大附中高三月考,★★)如图①,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,CD=2AB=2BC=4,过A作AE⊥CD,垂足为E,现将△ADE沿AE折叠,使得DE⊥EC.取AD的中点F,连接BF,CF,EF,BE,如图②. (1)求证:BC⊥平面DEC; (2)求二面角C-BF-E的余弦值. 三、数形结合思想在立体几何中的应用 4.(★★)已知△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,BC=2,将△ABD沿底边上的高线AD折起到△AB'D的位置,使∠B'DC=90°,如图所示,分别取B'C,AC的中点E,F. (1)求二面角E-DF-B'的余弦值; (2)在线段AB'上是否存在一点M,使EM⊥平面B'DF 若存在,求出点M的位置;若不存在,说明理由. 答案全解全析 易混易错练 1.答案 解析 =+=+(+) =+[(-)+(-)] =-++, 所以=+++2××·+2××·+2××·=2. ∴||=,即E,F间的距离为. 2.解析 由已知得a·b=5×(-2)+3t-=3t-, 因为a和b的夹角为钝角,所以a·b<0, 所以3t-<0,即t<. 若a与b的夹角为180°,则存在λ<0,使a=λb(λ<0),即(5,3,1)=λ, 所以解得t=-, 故t的取值范围为∪. 3.C 因为=-,所以∥.又和有公共的端点B,所以A,B,C三点共线.因为=3,所以∥.又与有公共的端点C,所以B,C,D三点共线.综上可知,A,B,C,D四点共线,所以直线AD与BC重合.故选C. 4.答案 0 解析 由λ+m+n=0, 得=--, 由A,B,C三点共线知--=1,所以λ+m+n=0. 5.答案 解析 向量在上的投影长度 ... ...
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