(
课件网) *2.3 垂径定理 第2章 圆 知识点 垂径定理 知1－讲 1 1. 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 特别提醒: 1. “垂直于弦的直径”中的“直径”，还可以是垂直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线.其实质是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可. 2“. 两条弧”是指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆. 知1－讲 2. 示例 如图2.3-1，CD ⊥ AB 于点E，CD 是⊙ O 的直径， 那么AE=BE，并且AD = BD，AC = BC . 可用几何语言表述为 ︵ ︵ ︵ ︵ 知1－讲 例 1 如图2.3-2，弦CD 垂直于⊙ O 的直径AB，垂足为点H，且CD=2 ，BD= ，则AB 的长为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 B 解题秘方：构造垂径定理的基本图形. 知1－讲 方法提醒: 利用垂径定理求线段的长的方法： 求线段长时，一般把半径、圆心到弦的垂线段、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解，即用“垂径定理＋勾股定理”求解. 知1－讲 解：连接OD，如图2.3-2. ∵ CD⊥AB，CD=2 ， ∴ CH=DH= . 在Rt△BHD中，由勾股定理，得BH=1. 设⊙ O的半径为r， 在Rt△OHD 中，OH2+HD2=OD2， 即(r－1)2+( )2=r2. 解得r= .∴ AB=3. 知1－讲 如图2.3-3，在⊙ O中，AB 为⊙ O 的弦，C，D 是直线AB上两点，且AC=BD. 求证：△ OCD 为等腰三角形. 例2 解题秘方：构建垂径定理的基本图形结合线段垂直平分线性质证明. 知1－讲 解题通法： 证明线段相等、证明垂直、证明角相等都经常用到垂径定理.在使用时，若已知圆心，作垂直于弦的半径(或直径)或连半径，是常用的作辅助线的方法. 知1－讲 证明：过点O 作OM ⊥ AB，垂足为M， 如图2.3-3. ∵ OM ⊥ AB，∴ AM=BM. ∵ AC=BD，∴ CM=DM. 又∵ OM ⊥ CD，∴ OC=OD. ∴△ OCD 为等腰三角形. 知2－讲 知识点 点与圆的位置关系 2 1. 推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 知2－讲 2. 示例：如图2.3-4，CD 是⊙ O 的直径，AB 是弦(非直径)，AB 与CD 相交于点E，且AE=BE，那么CD 垂直于AB，并且AD = BD，AC = BC .可用几何语言表述为 ︵ ︵ ︵ ︵ 知2－讲 拓宽视野： 对于圆中的一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个：(1)过圆心；(2)垂直于弦；(3)平分弦(非直径)；(4)平分弦所对的劣弧；(5)平分弦所对的优弧. 简记为“知二推三”. 知2－讲 如图2.3-5，AB，CD 是⊙ O 的弦，M，N 分别为AB，CD 的中点，且∠ AMN = ∠ CNM. 求证：AB=CD. 例 3 知2－讲 解题秘方：根据弦的中点作符合垂径定理推论的基本图形，再结合全等三角形的判定和性质进行证明. 解题通法： 证明两条弦相等的方法： 证明两条弦相等，可以先证明弦的一半相等.根据垂径定理的推论，连接圆心和弦的中点是常见的作辅助线的方法. 知2－讲 证明：如图2.3-5，连接OM，ON，OA，OC. ∵ O 为圆心，且M，N 分别为AB，CD 的中点， ∴ AB=2AM，CD=2CN，OM ⊥ AB，ON ⊥ CD. ∴∠OMA= ∠ONC=90° . ∵∠AMN= ∠CNM， ∴∠OMN= ∠ONM.∴ OM=ON. 又∵ OA=OC，∴ Rt △ OAM ≌ Rt △ OCN(HL). ∴ AM=CN. ∴ AB=CD. 知3－讲 如图2.3-6，要把残破的圆片修复完整. 已知弧上的三点A，B，C，用尺规作图找出ABC所在圆的圆心(保留作图痕迹). 例4 ︵ 知3－讲 解题秘方：紧扣垂径定理的推论，利用垂直平分弦的直线经过圆心来找圆心. 方法点拨： 在垂径定理的推论“知二推三”中，若已知“垂直平分弦”则可推出“经过圆心，平分弦所对的两条弧”，故两条不平行且不重合的弦的垂直平分线的交点即为圆心. 知3－讲 解：如图2.3-6，连接AB，BC，分别作AB，BC 的垂直平分线，两条垂直平分线的交点O 即为所求圆的圆心. 知3－讲 如图2.3-7，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB )，点O ... ...
