专题强化练4 折叠问题 一、选择题 1.(★★)如图所示,在直角梯形BCEF中,∠CBF=∠BCE=90°,A,D分别是BF,CE上的点,AD∥BC,且AB=DE=2BC=2AF(如图①).将四边形ADEF沿AD折起,连接BE,BF,CE(如图②).在折起的过程中,下列说法中错误的个数是( ) ①AC∥平面BEF; ②B,C,E,F四点不可能共面; ③若EF⊥CF,则平面ADEF⊥平面ABCD; ④平面BCE与平面BEF可能垂直. A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题 2.(2018甘肃张掖高一期末,★★)如图所示,正方形BCDE的边长为a,已知AB=BC,将△ABE沿BE边折起,折起后A点在平面BCDE上的射影为D点,则翻折后得到的几何体中有如下描述:①AB与DE所成角的正切值为;②AB∥CE;③VB-ACE=a3;④平面ABC⊥平面ADC.其中正确命题的序号为 . 三、解答题 3.(★★)如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,E为BC的中点,把△ABE和△CDE分别沿AE,DE折起,使点B与点C重合于点P. (1)求证:平面PDE⊥平面PAD; (2)求二面角P-AD-E的大小. 4.(★★)如图①所示的等边三角形ABC的边长为2a,CD是AB边上的高,E,F分别是AC,BC边的中点.现将△ABC沿CD折叠,使平面ADC⊥平面BDC,如图②所示. (1)试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由; (2)求四面体ADBC的外接球体积与四棱锥D-ABFE的体积之比. 5.(★★)已知正方形ABCD的边长为2,AC∩BD=O.将正方形ABCD沿对角线BD折起,使AC=a,得到三棱锥A-BCD,如图. (1)当a=2时,求证:AO⊥平面BCD; (2)当二面角A-BD-C的大小为120°时,求二面角A-BC-D的正切值. 6.(★★)如图①,☉O的直径AB=4,点C,D为☉O上两点,且∠CAB=45°,F为的中点.沿直径AB折起,使两个半圆所在平面互相垂直(如图②). (1)求证:OF∥平面ACD; (2)在AD上是否存在点E,使得平面OCE⊥平面ACD 若存在,试指出点E的位置;若不存在,请说明理由. 7.(2018安徽六安一中高一开学考试,★★)如图①,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且CD=BE=,O为BC的中点.将△ADE沿DE折起,得到如图②所示的四棱锥A'-BCDE,其中A'O=. (1)证明:A'O⊥平面BCDE; (2)求二面角A'-CD-B的平面角的余弦值; (3)求直线CB与平面A'BE所成角的正弦值. 图① 图② 8.(2018河北“五个一名校联盟”高三考试,★★)如图①,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,AB∥CD,AD=CD=AB=2,BC=2,E为AC的中点,将△ACD沿AC折起,使折起后的平面ACD与平面ABC垂直,如图②. (1)求证:BC⊥平面ACD; (2)点F在棱CD上,且满足AD∥平面BEF,求几何体F-BCE的体积. 9.(★★)图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2. (1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE; (2)求图2中的四边形ACGD的面积. 答案全解全析 一、选择题 1.B ①连接AC,取AC的中点O,BE的中点M,连接MO,MF,易证四边形AOMF是平行四边形,所以AC∥FM,所以AC∥平面BEF,所以①正确; ②若B,C,E,F四点共面,因为BC∥AD,所以BC∥平面ADEF,可推出BC∥EF,所以AD∥EF,这与已知相矛盾,故B,C,E,F四点不可能共面,所以②正确; ③连接CF,DF,在梯形ADEF中,易得EF⊥FD,又EF⊥CF,所以EF⊥平面CDF,所以CD⊥EF,所以CD⊥平面ADEF,则平面ADEF⊥平面ABCD,所以③正确; ④延长AF至G,使得FG=AF,连接BG,EG,易得平面BCE⊥平面ABF,过F作FN⊥BG于N,则FN⊥平面BCE,若平面BCE⊥平面BEF,则过F作直线与平面BCE垂直,其垂足在BE上,前后矛盾,故④错误.综上所述,一共有1个说法错误.故选B. 二、填空题 2.答案 ③④ 解析 ∵正方形BCDE的边长为a, ∴AB=a,则AE=a, 又AD⊥平面BCDE, ∴AD=a,∴AC=a. 在①中,∵BC∥DE,∴∠ABC(或其补角)为AB与DE所成的角, ∵AB=a,BC=a,AC=a, ∴BC2+AC2=AB2,∴BC⊥AC, ∴tan∠ABC=,∴AB与DE所成角的正切值为,故①错误; 在②中,由 ... ...
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