6.3.2～6.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示 导学案（含解析） 高一数学人教A版必修第二册

6．3.2～6.3.3　平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示 【课标要求】　1. 借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.2. 掌握平面向量加减法运算的坐标表示． 【导学】 学习目标一　平面向量的正交分解及坐标表示 　师问：(1)如图，在光滑斜面上的一个木块受到了哪些力的作用？这些力之间有什么关系？ (2)如图，在直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量a，可以用{i，j}表示成什么？ 生答： 例1 如图，取与x轴，y轴同向的两个单位向量i，j，{i，j}作为基底，分别用i，j表示，并求出它们的坐标． 总结：(1)求一个点的坐标时，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标． (2)求一个向量的坐标，先求该向量的模在x轴、y轴上正交分解的长度，其正负需要注意方向． 跟踪训练1　如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量{i，j}作为基底，θ＝45°，则向量a的坐标为(　　) A．(1，1)　　　　B．(－1，－1) C． D． 　学习目标二　平面向量加、减运算的坐标表示 师问：(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能得出a＋b，a－b的坐标吗？ (2)如图，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求的坐标？ 生答： 例2 已知点A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝a，＝b，＝c，且＝b (1)求a＋b－c； (2)求点M，N的坐标及向量的坐标． 平面向量坐标运算的策略 跟踪训练2　在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(3，5)＝(－1，2)，则＝(　　) A．(－2，4) B．(4，6) C．(－6，－2) D．(－1，9) 学习目标三　平面向量坐标运算的应用 例3 已知点A(λ，3)，B(5，2λ)(λ∈R)，C(4，5)．若，试求λ为何值时， (1)点P在第一、三象限角平分线上； (2)点P在第一象限内． 总结：(1)由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)， x1＝x2，且y1＝y2. (2)利用向量的坐标运算解题，主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；也可以利用基向量法，主要借助向量加、减运算的三角形、平行四边形法则． 跟踪训练3　如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为(2，1)，(－3，2)，(－1，3). (1)写出向量的坐标； (2)如果四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标． 【导练】 1．已知向量a＝(2，1)，b＝(0，1)，则a－b＝(　　) A．(2，0) B．(0，1) C．(2，1) D．(4，1) 2．如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，则可以表示为(　　) A．2i＋3j B．4i＋2j C．2i－j D．－2i＋j 3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且，则顶点D的坐标为(　　) A． B． C．(4，5) D．(1，3) 4．已知点A(－1，4)，B(2，6)，C(3，0)，则满足＝0的G的坐标为_____． 【导思】 已知对任意平面向量＝(x，y)，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量＝(x cos θ－y sin θ，x sin θ＋y cos θ)叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P.已知平面点A(2，3)，点B把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为_____． 6．3.2～6.3.3　平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示 导　学 学习目标一　生答：(1)该木块受到重力G的作用产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力F1的作用沿斜面下滑；二是木块产生垂直于斜面的压力F2.也就是说，重力G的效果等价于力F1和F2的合力的效果，即G＝F1＋F2. (2)由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj. 例1　解析：由题图可知，＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－4i＋2j，它们的坐标表示为＝(6，2)，＝(2，4)，＝(－4，2)． 跟踪训练1　解析：由题意可得a＝(cos 45°)i＋(sin 45°)j＝()i＋()j ... ...