线段差的最大值问题教案 教学目的： 知识和技能：让学生掌握线段差的最大值问题的解决模型。 过程与方法：利用轴对称化“折”为“直”，通过类比让学生找到解决问题的途径和方法，建立数学模型。 情感态度与价值观：培养团结协作能力，提高对数学的兴趣。 教学重点：通过类比转化建立最值模型 教学难点：最值模型的灵活应用 教学过程： 情境引入：如图，海警船和救助船分别位于相距60海里的两岛A、B，且两船的时速均为50海里， 有一艘商船在A的正南的C处，沿正东方向航行，现要求一旦商船有求助，两船必须第一 时间同时出发，且到达事发地的时间差不得超过1小时，请问海警船和救助船是否一定能按要求即时赶到？ 基本图形解析： 在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大； （1）点A、B在直线m同侧： 解析：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。 （2）点A、B在直线m异侧： 解析：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’ 建立模型：|PA –PB|最大= |PA –PB|最大=AB 理论依据： 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 牛刀小试： 1、如图，两点A，B在直线MN的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=6，CD=4.P在直线MN上运动，则|PA-PB|的最大值为（ ）。 A、4-6 B、8-2 C、2 D、2 2、如图，已知两点A、B在直线l的异侧，A到直线l的距离AC=6，B到直线l的距离BD=2，CD=3，点P在直线l上运动，则|PA-PB|的最大值为（ ）。 A、 B、3 C、1 D、5 应用模型： 例1. 如图，已知A（,y1),B(2,y2)为反比例函数y =(x＞0)图象上的两点 ，动点P为x轴上正半轴上运动，当PA-PB的值最大时，P点的坐标为 ，PA-PB的最大值为 。 例2. 抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，交x轴与A与B,交y轴于C， 在其对称轴上是否存在一点Q，使∣QB—QC∣的值最大，若存在求其坐标。 课堂小结： 数学思想：转化，类比，数学建模知识能力： 知识能力： |PA –PB|最大=AB 方法归纳：利用轴对称化“折”为“直”，将两条线段转化在同一直线上，即“共线”，使所求差用一条线段表示。 巩固练习： 1、如图，正方形ABCD的边长为a,M为AB的中点，CN=CD，点P在直线AC上，则|PM-PN|最大值为 。 2. 如图，抛物线y＝－x 2－x＋2的顶点为A，与y 轴交于点B． (1)求点A、点B的坐标； (2)当PA－PB最大时，求点P的坐标. 3. 如图，反比例函数y =k/x (x＞0)图象上的两点 A、B的横坐标为1，3，点P为x轴上正半轴上一 点，若PA-PB的最大值为2 ，则k= 。 4．如图，已知直线y＝x＋1与y轴交于点A，与x轴交于点D， 抛物线y＝x 2＋bx＋c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)． （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM－MC|的值最大，求出点M的坐标． 提高题： 如图，直线y＝－x＋2与x轴交于点C，与y轴交于点B，点A为y轴正半轴上的一点，⊙A经过点B和点O，直线BC交⊙A于点D． （1）求点D的坐标； （2）过O，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使线段PO与PD之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标．若不存在，请说明理由． y C x B A x=1 y x C B A D O E y ... ...
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